Question

我很难确定马尔可夫模型的平稳分布。我开始理解理论和联系：给定一个随机矩阵，为了消除静态分布，我们需要找到最大特征值的本征向量（即1）

我开始生成一个随机矩阵

set.seed(6534)
stoma <- matrix(abs(rnorm(25)), nrow=5, ncol=5)
stoma <- (stoma)/rowSums(stoma) # that should make it a stochastic matrix rowSums(stoma) == 1

之后我使用R eigen函数

ew <- eigen(stoma)

但我不明白结果

> ew
$values
[1]  1.000000e+00+0.000000e+00i -6.038961e-02+0.000000e+00i -3.991160e-17+0.000000e+00i
[4] -1.900754e-17+1.345763e-17i -1.900754e-17-1.345763e-17i

$vectors
              [,1]           [,2]          [,3]                  [,4]                  [,5]
[1,] -0.4472136+0i  0.81018968+0i  0.3647755+0i -0.0112889+0.1658253i -0.0112889-0.1658253i
[2,] -0.4472136+0i  0.45927081+0i -0.7687393+0i  0.5314923-0.1790588i  0.5314923+0.1790588i
[3,] -0.4472136+0i  0.16233945+0i  0.2128250+0i -0.7093859+0.0000000i -0.7093859+0.0000000i
[4,] -0.4472136+0i -0.09217315+0i  0.4214660+0i -0.1305497-0.1261247i -0.1305497+0.1261247i
[5,] -0.4472136+0i -0.31275073+0i -0.2303272+0i  0.3197321+0.1393583i  0.3197321-0.1393583i

最大值（1）的向量具有相同的组件值“-0.4472136”。即使我更改种子，绘制不同的数字，我也会再次获得相同的值。我错过了什么？为什么特征向量的组件都是eqaul？为什么他们不总结为1 - 因为这应该是一个固定的分布？

感谢您的帮助！

Answer 1

这是左右特征向量之间的混淆。试试eigen(t(stoma))。

我发现尝试wikipedia article on stochastic matrices：

中的示例很有用

p <- matrix(c(0,0,1/4,0,0,0,0,1/4,0,0,
       1/2,1,0,1/2,0,0,0,1/4,0,0,1/2,0,1/4,1/2,1),
     ncol=5)
p
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 0.00 0.00  0.5 0.00 0.50
## [2,] 0.00 0.00  1.0 0.00 0.00
## [3,] 0.25 0.25  0.0 0.25 0.25
## [4,] 0.00 0.00  0.5 0.00 0.50
## [5,] 0.00 0.00  0.0 0.00 1.00

检查它是一个随机矩阵：

rowSums(p)
## [1] 1 1 1 1 1

特征值：

zapsmall(eigen(p)$values)
## [1]  1.0000000  0.7071068 -0.7071068  0.0000000  0.0000000

特征向量：

print(zapsmall(eigen(p)$vectors),digits=3)

##       [,1]  [,2]   [,3]   [,4]   [,5]
## [1,] 0.447 0.354  0.354 -0.802 -0.609
## [2,] 0.447 0.707  0.707  0.535 -0.167
## [3,] 0.447 0.500 -0.500  0.000  0.000
## [4,] 0.447 0.354  0.354  0.267  0.776
## [5,] 0.447 0.000  0.000  0.000  0.000

（结果与你的一样但是任意翻转的符号.R对特征向量进行缩放，使每列的平方和为1：sqrt(1/5)约为0.447 ...）

你正在寻找其他（左？）特征向量：

print(zapsmall(eigen(t(p))$vectors),digits=3)
##      [,1]   [,2]    [,3] [,4]   [,5]
## [1,]    0 -0.149  0.3011 -0.5  0.707
## [2,]    0 -0.149  0.3011  0.5  0.000
## [3,]    0 -0.422 -0.8517  0.0  0.000
## [4,]    0 -0.149  0.3011 -0.5 -0.707
## [5,]    1  0.869 -0.0517  0.5  0.000

Answer 2

使用markovchain包最容易计算静态分布（即稳态）。

library(markovchain)
mc <- new("markovchain", transitionMatrix = stoma)
steadyStates(mc)

这给你的答案与

相同

ev <- eigen(t(stoma))
ev$vectors[, 1] / sum(ev$vectors[, 1])

计算随机矩阵的特征值/特征向量

2 个答案: