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Question

给定一组n对整数，有一种快速的方法来确定是否存在两对（x ₁，y ₁）和（x ₂，y ₂）以便集合{x ₁，y ₁}和{x ₂，x ₂}是空的吗？

例如，{（0,1），（0,2），（2,1），（3,2）}有{（0,1），（3,2）}作为答案。但是{（0,1），（0,2），（2,1）}没有这样的一对。

在Python中，您可以按如下方式尝试所有对。

l = [(0,1), (0,2), (2,1), (3,2)]
print  [pairs for pairs in itertools.combinations(l, 2)
    if not (set(pairs[0]) & set(pairs[1]))]

这种方法需要O（n ²）时间。你能得到更接近线性时间的东西吗？

Answer 1

以下算法应该在O（n）时间内起作用。它基于以下观察：如果你有一对{a，b}，那么每隔一对

不包括a或b，或
至少包括a或b中的一个。

如果您选择任何一组{a，b}并将彼此分组分类为这五个类别中的一个，请注意，如果您在案例1中得到任何内容，那么您已完成并且您知道存在这样的一对。因此，唯一有趣的情况是，当每一其他组分为二的情况下发生这种情况时，我们可以称之为两组“A”组和“B”组（用于匹配，设置和匹配B设定）。

一旦你的A组和B组，你知道，没有两个A集可以是你想要的对，没有两个B集可以是想要的对，并且集合{A，B}不能成为你想要的一对的一部分。唯一的选择是你可以从A组中取出一些东西并将它与B组中的东西配对。只有当A组中的某些非A组件与B组中的任何非B组件不匹配时，才会发生这种情况。可以通过建立一个哈希表保持所述A基团的非A组分，然后检查所述组B其非B分量是否在哈希集合中的每个元素在O（n）的检查。

总结一下，算法是

选择一对{a，b}。
对于每对{c，d}：
- 如果{a，b}和{c，d}不相交，那么就完成了。
- 否则，如果{a，b} = {c，d}，请丢弃{c，d}。
- 否则，将{c，d}放入A组（如果包含A组或B组）（如果包含b）。
如果A组或B组为空，则不存在对。返回false。
对于A组的每个元素，将该对的非a组件添加到哈希集。
如果B组中的任何元素的非b组件不在哈希集中，则返回true，否则返回false。

这在时间O（n）中运行并使用O（n）额外的内存。

希望这有帮助！

Answer 2

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^{我个人会在没有回答他的答案的情况下亲自追捕这个答案，因为他做了所有的工作}

这是（{3}}中定义的算法的一个（不言自明的）python实现：

def exists_pair(seq):
    if len(seq) < 2:
        return False
    a, b = seq[0]  # could be: seq.pop() if modifications are allowed
    a_group = set()
    b_group = set()
    for c, d in seq:
        if not ({a,b} & {c,d}):
            return True
        elif {a,b} == {c,d}:
            continue
        elif a in {c,d}:
            a_group.add(c if c != a else d)
        else:
            b_group.add(c if c != b else d)

    if not a_group:
        return False

    # b_group - a_group: elements of b_group that do not appear in a_group
    return bool(b_group - a_group)

无需检查空b_group，因为b_group - a_group的结果始终是b_group的子集。如果b_group为空，则结果将始终为空，bool为空set为False，这是正确的。

找到一对没有交叉的对

2 个答案:

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