找到一对QuadCurve2D的交叉点

Question

是否有一种简单的方法来逼近QuadCurve2D的两个实例相交的点（如果有的话）？

也就是说，如何计算此图中红点的坐标？ QuadCurve2D中没有明显的方法可以做到这一点。

（注意：这些点并不准确，因为我已经手动为图表调整了它们。还要注意“缺失”的第四个点，它不在曲线段上，即使它位于（无限）抛物线上。）< / p>

使用以下代码创建这两个曲线段：

QuadCurve2D curve1 = new QuadCurve2D.Double(-2.00, -2.00, +0.75, +4.75, +2.00, -0.75);
QuadCurve2D curve2 = new QuadCurve2D.Double(-2.50, -0.75, +5.50, -0.50, +0.50, +1.25);

注2：我也希望能够与直线相交。一个二次曲线，但我认为这可以通过将其中一个控制点设置为与端点共线来处理。

Answer 1

取决于您是否对近似或精确解决方案感兴趣（最高可达双精度）。对于近似值，您可以简单地将曲线参数化为某些函数 f （ t ），然后进行一些区间嵌套以查找 t 的值。最小化曲线之间的距离。

对于精确解，您必须找到两个圆锥截面相交的四个点。关于这个on wikipedia有一个简短的段落。这本书Perspectives on Projective Geometry有一个较长的部分来解释细节。当然有各种语言的实现可用;刚刚出现one for Asymptote。但general case的实现看起来非常可怕，所以可能是他们在那里做了一些过于复杂的事情。

一旦你有了所有四个交点，你仍然需要决定哪一个是由QuadCurve端点划分的圆锥曲线部分，但这应该比较简单。所以总的来说，你有三个步骤：

1. 从端点和控制点计算圆锥截面的矩阵
2. 使用铅笔中的degenerat元素相交圆锥曲线
3. 确定这些交叉点是否位于端点之间

如果您对其中一个步骤的数学详细信息有疑问，最好在mathematics stack exchange上询问。不仅让人们有更多解决数学问题的经验，排版数学的MathJax功能将使答案远比这里的答案更具可读性。

关于你的关于直线的注释2：到目前为止这更容易，因为如果你用坐标来表达那个问题，你只会得到一个二次方程，而不是一个4阶方程。一般问题的天真方法，如果按照上述参考文献的描述解决它，仍然是3级。人们可以用一种方式来编写一般方法，即将圆锥与线相交是解决方案中的一个步骤，因此有一个方法可以很好地工作。

Answer 2

实用的方法是通过添加曲线并关闭结果来创建两个Area，这些Area的交集应该将所有原始交点作为某些段的端点。因此，迭代结果路径，忽略任何Bézier控制点，并且对于遇到的每个段终点，检查它是否位于原始曲线上。

或者查看Area如何执行此操作，并了解您是否可以根据自己的需要进行调整。如果您的许可允许包含GPL2代码。