高效动态编程布尔矩阵中的矩形查询

Question

请有人建议使用动态编程方法来解决SPOJ问题“标准问题”，链接： - http://www.spoj.com/problems/ASTDPROB/

问题陈述： 给定一个大小为NXM的布尔矩阵。对于int low low，high类型的所有Q查询，找到最大区域子矩形，它只有零，位于编号为low和high的行之间。

1 ≤ N, M ≤ 1000 
1 ≤ Q  ≤ 10^6

我需要一个O（n ^ 2）或O（n ^ 2 * log n）dp算法。

直到我的方法如此

1. 我使用DP预先计算最大子矩形的边，在几乎O（n ^ 2）的时间内开始每个单元格（i，j）。
2. 将每个查询的答案存储在网格中[M] [M]（目前我在O（n ^ 3）中进行操作= 1秒内大约10 ^ 9个原子操作，这是不可能的）
3. 然后回答O（1）中的所有查询。

请为第2步建议任何优化？

任何采用更有效方法的人，请分享一下。

提前致谢。

Answer 1

让M成为0和1 s的矩阵。

计算矩阵S，其中S[k][l]' is the number of consecutive zeros up from M [k] [l]`。这将需要O（n ^ 2）。

现在，对于给定的查询(lo,hi)，您可以从第lo行转到第hi行。对于每一行line，按以下方式查找从line到hi的最大矩形： - 通过p使用指针S[line]并跟踪可能的高度。

例如，假设S[line] = [1,2,2,1,5,6,9,2,1,4]。当p = 5你应该有一个元组列表，如：     W = [0,4,5] 从中你可以计算在p==6处完成的矩形的大小：

max(S[line][W[0]], hi-lo+1) * (p-W[0] + 1) = 6
max(S[line][W[1]], hi-lo+1) * (p-W[1] + 1) = 10
max(S[line][W[2]], hi-lo+1) * (p-W[2] + 1) = 6

编辑：嗯，似乎有更复杂的解决方案，至少在计算S之后。您可以将其视为问题H：

http://www.informatik.uni-ulm.de/acm/Locals/2003/html/judge.html

这里还有一个相关的SO问题 Maximize the rectangular area under Histogram

编辑：如何使用直方图的想法。

让M具有以下结构

1010100101
0001001001
0001000010
0100000000

然后S可以自下而上计算，在这种情况下是

0301041020
3230330310
2120222202
1011111111

现在要找到一条从某条线开始直到最后的矩形，我们使用'直方图问题'。对于第二行，我们有：3230330310，这对应于表格的直方图

X X XX X  
XXX XX X  
XXX XX XX

在此处查找最大的矩形会给出起始问题中最大的矩形。

Complecity：O（n） - 直方图算法。现在，对于每个查询，我们最多检查n行，我们有q个查询，因此：O(n^2 q)