Question

我正在实现一种使用C ++和CUDA的算法。但是当我试图找到一个特殊矩阵的逆时，我遇到了麻烦。该矩阵具有以下特征：

它是一个方阵（假设：（m + 3）x（m + 3），m> 0）;
它的转置矩阵是它的自我;
其主对角线必须为零;
它的右下角必须有一个3x3的零矩阵;
你可以用这种形式考虑这个矩阵：H = [A，B; B'，0];

我尝试了一些方法，但都失败了：

伪逆矩阵：

我首先使用了matlab，当我尝试使用inv（H'* H）时出现错误或警告： 警告：Matrix对于工作精度是单数的 或< strong> 矩阵接近单一或严重缩放
一些近似方法：

参考资料在这里：approximation我发现了两种方法：Gauss-Jordan消除和Cholesky分解。当我在matlab中尝试chol时，我得到以下 错误：Matrix必须是正定的

任何人都可以给我一些建议吗？

Answer 1

最好了解一些有关特定问题的信息，特别是如果您需要反向本身，或者您只需要反转一个线性方程组。我会尽力给你两个案例的指示。

让我首先考虑你的矩阵几乎是单数，因此你的系统是病态的。

确定近似奇异矩阵的反转

正如上面的评论和答案中所阐明的那样，寻找近似奇异矩阵的逆是没有意义的。有意义的是构造矩阵的正则化逆。您可以通过使用矩阵的谱分解（奇异值分解或SVD）来做到这一点。更详细地说，您可以构造奇异系统，去除最不重要的奇异值，这些奇异值是矩阵的近似奇异行为的来源，然后使用奇异值和向量来形成近似逆。当然，在这种情况下，A*A_inv仅给出单位矩阵的近似值。

如何在GPU上完成？首先，我要说在C ++或CUDA中实现SVD算法绝非易事。根据您需要的精度，您应该选择几种技术，例如，确定奇异值。无论如何，Matlab有一组linear algebra functions working on GPU。此外，CULA和Magma是提供SVD计算例程的两个库。此外，您可以考虑使用Arrayfire，它还提供线性代数例程，包括SVD。

倒置一个奇异的奇异系统

在这种情况下，您应该考虑使用某种Tikhonov正则化，其中包括将线性系统的反演作为优化问题并添加正则化项，这可能取决于您已知的有关您的未知数的特征。

对于上述两种情况，我建议阅读一些理论。这本书

M. Bertero, P. Boccacci, Introduction to Inverse Problems in Imaging

如果你必须找到一个近似的逆或者你明确地反转了线性系统，那么

会很有用。

Answer 2

伪逆矩阵是inv(H'*H)*H'，因为H的条件数非常高（try cond(H)），你可能需要一个正则化因子来获得伪逆矩阵：inv(H'*H + lambda*eye(size(H)))*H'。 lambda越小，这种估计的偏差越小。但lambda的值太小会导致高度差异（病态）。您可以尝试最佳套装价值。

您当然可以直接使用pinv(H)。 pinv(H)*H ~= eye(size(H))之所以是因为pinv(H)只是矩阵H的倒数的近似值，其等级低于size(H,1)。换句话说，H中的列并非完全独立。

我想向您展示一个非常简单的例子：

>>a =

     0     1     0
     0     0     1
     0     1     0

  pinv(a) * a
>>
   ans =

     0         0         0
     0    1.0000         0
     0         0    1.0000
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
>>a =  
     1     0
     0     1
     1     0

 pinv(a) * a
>>

 ans =

1.0000         0
     0    1.0000

注意a * pinv(a)不是单位矩阵，因为a的列是线性独立的，而不是a的行。有关详细信息，请查看此page。

如何找到近似奇异矩阵的逆？

2 个答案: