Question

自然数上的“强”（或“完全”）归纳意味着当在n上证明归纳步骤时，您可以假设该属性适用于任何k

Theorem strong_induction:
forall P : nat -> Prop,
(forall n : nat, (forall k : nat, (k < n -> P k)) -> P n) ->
forall n : nat, P n.

我设法证明这个定理没有太多困难。现在我想在一个新的策略strong_induction中使用它，它应该类似于自然数字上的标准“感应n”技术。回想当使用“感应n”时，当n是自然数并且目标是P（n）时，我们得到两个目标：形式P（0）之一和形式P（S（n））中的第二个，对于第二个目标，我们将P（n）作为假设。

所以我希望，当前目标是P（n）时，获得一个新目标，也是P（n），但新假设“forall k：nat，（k＆lt; n - ＆gt; P（k））））”。

问题是我不知道如何在技术上做到这一点。我的主要问题是：假设P是一个复杂的陈述，即

exists q r : nat, a = b * q + r

在上下文中使用b：nat;我如何告诉Coq在a上进行强诱导而不是b？只需执行“应用strong_induction”结果

n : nat
H0 : forall k : nat, k < n -> exists q r : nat, a = b * q + r
______________________________________(1/2)
exists q r : nat, a = b * q + r
______________________________________(2/2)
nat

假设是无用的（因为n与a无关），我不知道第二个目标意味着什么。

Answer 1

在这种情况下，要apply strong_induction，你需要change目标的结论，以便更好地匹配定理的结论。

Goal forall a b, b <> 0 -> exists ! q r, a = q * b + r /\ r < b.
change (forall a, (fun c => forall b, b <> 0 -> exists ! q r, c = q * b + r /\ r < b) a).
eapply strong_induction.

您还可以更直接地使用refine策略。这种策略类似于apply策略。

Goal forall a b, b <> 0 -> exists ! q r, a = q * b + r /\ r < b.
refine (strong_induction _ _).

但是induction策略已经处理了任意归纳原则。

Goal forall a b, b <> 0 -> exists ! q r, a = q * b + r /\ r < b.
induction a using strong_induction.

有关这些策略的更多信息here。您应该在induction和intro之前使用split。

Coq：添加“强感应”策略

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