Question

如果圆圈由其中心的X，Y和半径定义，那么如何找到包含给定圈数的圆？一个圆圈，是可能的最小圆圈，完全包含任意大小和位置的2个或更多圆圈。

起初我尝试通过找到中心的中点并且是新圆的中点来尝试包围2个圆，而半径等于2个初始圆的半径的一半，并且它们的中心之间的距离的一半但不知怎的，它总是变得有点偏。找到半径似乎问题似乎总是存在问题，但我对此感到头疼，我无法使其发挥作用。

我不一定需要一种方法来查找包含3个或更多圆圈的圆圈。我可以找到一个包含2的圆圈，取圆圈并用另一个圆圈包围它，另一个圆圈，最后的圆圈应包含整个步骤中给出的所有圆圈。

Answer 1

给定两个圆，中心为[x1，y1]，[x2，y2]，半径为R1和R2。封闭圆的中心是什么？

假设R1不大于R2。如果第二个圆圈较小，则只需交换它们。

计算圆圈中心之间的距离。

D = sqrt（（x1-x2）^ 2 +（y1-y2）^ 2）
第一个圆圈是否完全位于第二个圆圈内？因此，如果（D + R1）＆lt; = R2，那么我们就完成了。将较大的圆圈作为封闭圆圈返回，其中心为[x1，x2]，半径为R2。
如果（D + R1）> R2，然后包围圆的半径为（D + R1 + R2）/ 2

在后一种情况下，围绕圆的中心必须位于连接两个中心的线上。所以我们可以把新中心写成

center = (1-theta)*[x1,y1] + theta*[x2,y2]

其中theta由

theta = 1/2 + (R2 - R1)/(2*D)

请注意，theta将始终为正数，因为我们已确保（D + R1）＆gt; R2。同样，我们应该能够确保theta永远不会大于1.这两个条件确保封闭中心严格位于两个原始圆心之间。

Answer 2

它被称为最小封闭圆（“MEC”），或者有时是“最小的封闭圆”。

一个不错的网站：http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Compgeometry/MyCG/CG-Applets/Center/centercli.htm

Answer 3

我打算反对这个，现在
请参阅下面的讨论。

原创想法

我会考虑一种迭代的推拉方法。

猜猜中心的位置（最简单的是所有中心的平均位置）
将向量计算到每个圆上的最远点。它们总是朝向该圆心的方向，长度为distance_to_center_of_circle[i]+radius_of_circle[i]，并随着时间的推移形成矢量和。另请注意，当前位置的必要半径是这些长度的最大值。
从2开始（例如）1/5或1/10的向量和，并从2为新点重做计算
如果新点需要比旧点小的圆，则将新点作为当前点，否则，拆分差值，减小建议步长的大小（比如说它的一半）。
转到3

当它停止[+]收敛时你就完成了。

Nikie戳了戳直到......

按要求澄清第二步。调用要测试的位置\vec{P}（向量）。[++]调用每个圆\vec{p}_i的中心（也是向量），每个圆的半径为r_i。形成总和\sum_i=1^n \hat{p_i - P}*|(p_i-P)|+r_i)。[+++]总和的每个元素指向从当前评估点到相关圆的中心的方向，但是更长r_i。总和本身就是一个矢量。

半径R需要将P中的所有圆圈括起来max(|p_i-P|_r_i)。

病理案例

我不认为nikie带来的特殊情况是一个问题，但它让我陷入了这种算法失败的情况。失败的是未能改进解决方案，而不是分歧，但仍然......

考虑位于

(-4, 1)
(-5, 0)
(-4, 1)
( 5, 0)

和(-1, 0)的起始位置。通过设计对称，使所有距离沿x轴。

正确的解决方案是(0, 0)，半径为6，但是在步骤2中计算的向量大约是::计算得很快:: (-.63, 0)，指向错误的方向，导致永远不会找到改进原点。

现在，上面的算法将实际选择(-2, 0)作为起始点，它给出了一个初始向量和::计算狂怒::约+1.1。因此，（3）中步长的错误选择将导致不太理想的解决方案。 ::叹息::

可能的解决方案：

在（3）中抛出一个随机分数（比如+1/5和-1/5）可能加权为正数。
在（4）中如果步骤被拒绝，只需返回步骤3而不改变步长限制。

然而，在这一点上，它并不比纯随机游走好多了，并且你没有一个容易知道它何时收敛的条件。 MEH。

[+]当然，或者减慢到令你满意的程度。 [++]使用乳胶表示法。 [+++]这里\hat{}表示规范化的向量指向与参数相同的方向。

Answer 4

由于我的不精确解决方案不受欢迎。这是获得确切解决方案的方法。但它的缓慢（O（N ^ 4）？）和计算上令人讨厌。（与不精确的方法不同）

首先你需要知道，给定三个圆圈，我们可以找到一个与它们相切的圆，而不是包含所有三个圆。这是Apollonius的一个圈子。您可以从mathworld获取算法。

接下来，您可以显示N个圆圈的最小封闭圆与N个圆圈中的至少3个圆相切。

要查找此圈子，请执行以下操作

循环遍历所有圆圈 - O（N ^ 3）
找到这3个圆圈的封闭Apollonius圆圈 - 计算上讨厌的
如果它包含所有圆圈，则将其添加到潜在列表中 - 检查是否为O（N）
解决方案是半径最小的潜力

可能有一些技巧可以加快速度，但它应该为您提供准确的解决方案。将Smallest Enclosing Circle算法用于线性时间的一些“技巧”可能适用于此，但我怀疑它们不会是微不足道的适应。

Answer 5

你手边的问题被称为球体的最小封闭球体。我已经写了关于它的论文，见"Smallest enclosing ball of balls"，苏黎世联邦理工学院。

您可以在Computational Geometry Algorithms Library (CGAL)包Bounding Volumes中找到非常有效的C ++实现。（不需要使用所有CGAL;只需提取所需的源文件和头文件即可启动并运行。）

注意：如果您正在寻找一种算法来计算仅有点的最小封闭球，那么还有其他实现，请参阅this post。

Answer 6

我已经采取了你们有些人的意见，这是我发现的解决方案：

public static Circle MinimalEnclosingCircle(Circle A, Circle B) {
            double angle = Math.Atan2(B.Y - A.Y, B.X - A.X);
            Point a = new Point((int)(B.X + Math.Cos(angle) * B.Radius), (int)(B.Y + Math.Sin(angle) * B.Radius));
            angle += Math.PI;
            Point b = new Point((int)(A.X + Math.Cos(angle) * A.Radius), (int)(A.Y + Math.Sin(angle) * A.Radius));
            int rad = (int)Math.Sqrt(Math.Pow(a.X - b.X, 2) + Math.Pow(a.Y - b.Y, 2)) / 2;
            if (rad < A.Radius) {
                return A;
            } else if (rad < B.Radius) {
                return B;
            } else {
                return new Circle((int)((a.X + b.X) / 2), (int)((a.Y + b.Y) / 2), rad);
            }
        }

圆圈由其中心的X，Y和半径定义，均为整数。有一个构造函数是Circle（int X，int Y，int Radius）。在突破了一些旧的概念之后，我认为最好的方法是找到距离最远的圆上的2个点。一旦我有了，中点将是中心，一半的距离将是半径，因此我有足够的定义一个新的圆。如果我想要包含3个或更多个圆圈，我首先在2个圆圈上运行它，然后我在生成的包围圆圈和另一个圆圈上运行它，依此类推，直到包含最后一个圆圈。可能有一种更有效的方法可以做到这一点，但现在它起作用了，我很满意。

我对回答自己的问题感到很奇怪，但如果没有每个人的想法和链接，我都无法找到解决方案。谢谢大家。

Answer 7

只需理解circle的方程式并导出一个方程式（或一系列）来找到答案，然后开始实施。也许我们能够帮助你，因为你已经做了一些事情。

Answer 8

因此，如果您不需要精确的圆，则此近似可能会这样做。

取您所有圈子中心的平均值称为此第X点
设R1是从X到圆心的最大距离。
设R2为圆的最大半径

所有圆圈必须落在以X为中心的圆内，半径为R1 + R2

Answer 9

这不是一个小问题。我没有阅读上面的所有答案，所以如果我重复一个人已经说过的话，那就是我的错。

每个圆圈c_i由3个参数x_i，y_i，r_i

定义

需要找到3个参数x *，y *，r *表示最佳圆C *

C *是这样的，它包含所有i的c_i

设d_i = ||（x，y） - （x_i，y_i）|| + r_i

然后，如果r是包含所有c_i的圆的半径，那么对于所有i，r＆gt; = d_i

我们希望r尽可能小

所以，r * = max（d_i）

因此，我们希望最小化d_i

的最大值

所以（x *，y *）由max（d_i）的arg min给出。并且一旦找到（x *，y *），就可以容易地计算r *并且将等于max（d_i）。这是一个极小极大的问题。

为了让事情更容易理解，只考虑2个圆圈，我们如何找到（x *，y *）？

（x *，y *）可以通过找到最小化（d_1-d_2）^ 2的（x，y）来找到。在一般情况下

让e_ij =（d_i - d_j）^ 2

然后为i！= j定义e = \ sum e_ij（有n在此总和中选择2个术语）

（x *，y *）= arg min of e

这是需要解决的问题。

提示：如果对于所有i，r_i = 0，那么当输入是一堆点时，这会减少到传统的最小封闭圆问题，并且我们希望找到涵盖所有这些的最小圆。

找到包含其他圆圈的最小圆圈？

9 个答案:

原创想法

Nikie戳了戳直到......

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