确定时间和空间的复杂性

Question

我在确定空间和时间复杂性方面遇到了一些麻烦。例如，如果我的树具有分支因子 b 并且最多具有 d 的深度，那么如何计算时间和空间复杂度？我知道它们是O（b ^ d）和O（bd），但我的问题是如何获得这些值。

谢谢！

Answer 1

时间

树中的所有节点必须在某个时刻生成一次，并且假设生成节点需要花费一个恒定时间c（常数时间可以变化，您可以选择{{1生成任何节点的最高常量时间）。顺序由算法确定，并确保不必重复扩展节点。

c

正如您在图中所见，计算第一个级别需要nodes b=2 b=3 b^0 * * / \ / | \ b^1 * * * * * / \ / \ / | \ / | \ / | \ b^2 * * * * * * * * * * * * * ... ... 费用 - 确切地说c*b^0。树中的下一级将包含c个节点，生成第二级需要b^1。对于第三级，第二级中的每个节点将再次出现c*b^1 = c*b个节点，这意味着b个节点和b*b^1 = b^2$的成本。

在深度为c*b^2的树的最深层，将有d个节点，因此该级别的工作为b^d。到目前为止所完成的工作总量为c*b^d。对于复杂性，我们只关注最快的上升期并降低常数，以便得到：

c*b^0 + c*b^1 + ... + c*b^d。

本质上：时间是一个函数O(c + c*b + ... + c*b^d) = O(c*b^d) = O(b^d)和f(d) = SUM(i=1..d){c*b^i}。

空间

该图显示了O(f(d)) = O(b^d)不同阶段的算法。 b=3表示当前已展开的节点，*表示未知节点，?表示已完全计算得分的节点。

+

为了计算节点的分数，您可以展开节点，选择一个子节点并递归展开，直到到达深度为 branching factor b = 3 space * * * * b / | \ / | \ / | \ / | \ * ? ? * ? ? + * ? + + * b / | \ / | \ / | \ / | \ * ? ? + + * + * ? + + * b / | \ / | \ / | \ / | \ * ? ? + * ? + * ? + + * b 的叶节点。完全计算子节点后，转到下一个子节点。计算完所有d子节点后，将根据子节点计算父节点得分，此时可以从存储中删除子节点。这在上图中说明，其中算法显示在4个不同的阶段。

您可以随时扩展一个路径，并且需要b存储来存储每个级别的所有子节点。这里再次假设您需要每个节点有一个恒定的空间量。关键是任何子树都可以根据其来概括。由于路径的最大长度为c*b，因此您最多需要d个空间。如上所述，我们可以删除常数，我们得到c*b*d。

Answer 2

空间复杂度相当于“我需要为此算法分配多少内存”。 时间复杂度相当于“执行需要多长时间（从抽象​​意义上说）”。

具有分支因子b和深度d的树将在其零级别具有一个节点，在其第一级别具有b个节点，在其第二级别具有b * b = b ^ 2个节点，b ^ 2 * b = b ^ 3在这四个等级（深度3）中，它有1 + b + b ^ 2 + b ^ 3。就复杂性而言，我们只保留最高阶项，并且通常会丢弃任何乘法常数。因此，对于空间复杂性，最终会出现O（b ^ d）的复杂性。

现在时间复杂，你的计数不是节点的数量，而是你的算法将完成的循环或递归调用的数量（最坏的情况）。

我准备出门，假设你在谈论IDDFS。在this wiki文章中很好地解释了O（b ^ d）和O（bd）的来源。