Question

这是我们的算法期末考试的问题。这是逐字的，因为教授让我们把考试的副本带回家。

（20分）设I = {r1，r2，...，rn}是一组 n 任意正整数， I 中的值是不同即可。 I 未按任何排序顺序提供。假设我们想找到 I 的子集 I'，使得 I'中所有元素的总和正好是100 * ceil（n ^ .5）（ I 的每个元素最多只能出现在 I'中一次。提出一个O（ n ）时间算法来解决这个问题。

据我所知，它基本上是背包问题的特殊情况，也称为子集和问题......两者都在NP中，理论上在线性时间内无法解决？

所以...这是一个棘手的问题吗？

This SO post基本上解释了如果权重是有界的，可以进行伪多项式（线性）时间近似，但在检查问题中，权重不受限制，并且考虑到检查的整体难度如果教授希望我们知道/想出一个模糊的动态优化算法，我会感到震惊。

Answer 1

有两件事可以解决这个问题：

可以将输入截断为大小为O（sqrt（n））。没有负输入，因此您可以丢弃任何大于100 * sqrt（n）的数字，并且所有输入都是不同的，因此我们知道最多有100 * sqrt（n）个输入。
比赛场地的大小为O（sqrt（n））。虽然有O（2 ^ sqrt（n））方法来组合重要的O（sqrt（n））输入，但您不必关心离开100 * sqrt（n）范围或冗余命中的组合你已经可以达到的目标。

基本上，这个问题尖叫动态编程，每个输入都以某种方式对“到达数字”空间的每个部分进行检查。

解决方案的最终目的是确保数字不会自行消失（通过向正确方向扫描），只查看每个数字一次，然后给自己提供足够的信息以重建解决方案。< / p>

以下是一些应该在给定时间内解决问题的C＃代码：

int[] FindSubsetToImpliedTarget(int[] inputs) {
    var target = 100*(int)Math.Ceiling(Math.Sqrt(inputs.Count));

    // build up how-X-was-reached table
    var reached = new int?[target+1];
    reached[0] = 0; // the empty set reaches 0
    foreach (var e in inputs) {
        // we go backwards to avoid reaching off of ourselves
        for (var i = target; i >= e; i--) {
            if (reached[i-e].HasValue) {
                reached[i] = e;
            }
        }
    }

    // was target even reached?
    if (!reached[target].HasValue) return null;

    // build result by back-tracking via the logged reached values
    var result = new List<int>();
    for (var i = target; reached[i] != 0; i -= reached[i].Value) {
        result.Add(reached[i].Value);
    }
    return result.ToArray();
}

我实际上没有测试过上面的代码，所以要小心打字错误，然后再打字。

Answer 2

以下是O（n）时间的简单解决方案。

由于所需的总和S大约为O(n^0.5)，如果我们制定复杂度S^2的算法，那么我们就是好的，因为我们的算法应具有有效的复杂性{{ 1}}。

在所有元素上迭代一次，检查值是否小于S.如果是，则将其推入新阵列。该数组应包含最多S个元素（O（n ^ .5））
在O（sqrt（n）* logn）时间（＆lt; O（n））中按降序对此数组进行排序。这是因为logn＆lt; = sqrt（n）表示所有自然数。 https://math.stackexchange.com/questions/65793/how-to-prove-log-n-leq-sqrt-n-over-natural-numbers

现在这个问题是1D背包问题，W = S，元素数= S（上限）。

最大化项目的总重量，看它是否等于S.

可以使用线性时间的动态编程来解决（线性wrt W~S）。

Answer 3

使用subset-sum problem的典型DP算法将获得O(N)耗时的算法。我们使用dp[i][k]（布尔值）来指示前i个项是否具有和k的子集，转换方程为：

dp[i][k] = (dp[i-1][k-v[i] || dp[i-1][k]),

它是O(NM)，其中N是集合的大小，M是目标总和。由于元素是不同的，并且总和必须等于100*ceil(n^.5)，我们只需要考虑最初的100 * ceil（n ^ .5）项，然后我们得到N<=100*ceil(n^.5)和M = 100*ceil(n^.5) 。

DP算法为O(N*M) = O(100*ceil(n^.5) * 100*ceil(n^.5)) = O(n).

线性时间中的子集和

3 个答案: