Question

我正在努力更好地理解缩减，我现在正在研究两种算法，“中位数中位数”和Quicksort。

据我所知，两种算法都使用类似的（实际上相同的）分区子程序来帮助解决问题，最终使它们非常相似。

Select(A[1...n],k):  // Pseudocode for median of medians
  m = [n/5]
  for i from 1 to m:
    B[i] = Select(A[5i-4..5i],3)
  mom = Select(B[1..m],m/2)

  r = partition(A[1..n],mom)  // THIS IS THE SUBROUTINE

  if k < r:
    return Select(A[1..r-1],k)
  else if k > r:
    return Select(A[r+1..n],k-r)
  else
    return mom

对于这两种算法，术语“减少”是否有意义？以下任何一项都有意义吗？

中位数/ Quicksort的中位数可以缩减为分区子程序
中位数的中位数减少为快速排序
Quicksort降低到中位数的中位数

Answer 1

这实际上取决于你对“减少”的定义。

通常讨论的标准减少类型是mapping reduction（也称为多次减少）。从问题X到问题Y的映射减少如下：

给出问题X的输入I _X，将其转换为输入I _Y到问题Y.然后，在I _{上运行问题Y的求解器Y}并输出答案。

在映射缩减中，您只需调用一个解决问题Y的子例程，并且必须输出从该子例程返回的任何答案。例如，您可以减少“这个数字是否均匀？”的问题。问题是“这个数字奇怪吗？”通过在数字中加1并输出结果数是否为奇数。

作为映射缩减的一个非示例，请考虑以下两个问题：首先，问题“这个列表中的每个布尔值都是真的吗？”，第二，问题“这个列表中的布尔值是假的吗？”如果你有第二个问题的求解器，你可以用它来解决第一个问题，解决第二个问题并输出相反的结果：布尔值列表中有一些元素是假的，当且仅当它不是时列表的每个元素都为true的情况。但是，这种减少不是映射减少，因为我们正在翻转子例程产生的结果。

经常使用的不同类型的缩减是Turing reduction。从问题X到问题Y的图灵减少如下：

构建一个解决问题X的算法，假设有一个魔术黑盒总能解决问题Y.

所有地图缩减都是图灵减少，但不是相反。上述减少“是一切都是真的吗？” “是虚假的东西”不是映射减少，但它是图灵减少，因为你可以使用子程序“是假的吗？”要了解列表是否包含任何错误值，那么可以输出相反的值。

映射缩减和图灵缩减之间的另一个主要区别是，在图灵缩减中，您可以多次调用解决问题Y的子程序，而不仅仅是一个。

您可以将快速排序和中位数中位数视为使用分区作为子例程的算法。在快速排序中，该子程序完成了对所有内容进行排序所需的所有繁重工作，并且在中位数中位数时，它执行缩小输入的基本步骤之一。由于两种算法都会对子例程进行多次调用，因此您可以将它们视为图灵式减少。 Quicksort是从排序到分区的减少，而中位数的中位数是从选择到分区的减少。

希望这有帮助！

Answer 2

我不认为任何一种都可以减少到另一种（无论如何，以任何有意义的方式）。您可以使用中位数的中位数为Quicksort选择枢轴（但实际上几乎没有人）。 Quicksort仍然必须基于pivot元素执行一些其他步骤（具体来说，根据数据透视分区数据）。

同样地，中位数的中位数不能减少到Quicksort，因为Quicksort做了额外的工作（除其他外）阻止它满足中位数中位数的复杂性保证。

算法减少（中位数中位数，快速排序）

2 个答案: