在小于O（n）比较中找到3个最小元素的时间复杂度

Question

我在确定2种算法的时间复杂度方面存在2个问题。

问题1

使用比较确定一组 n 不同数字中最小的3个数字。

1. 可以使用 O（log ² n）比较来确定这3个元素。
2. O（log ² n）是不够的，但可以使用 n + O（1）比较来确定它们。< / LI>
3. n + O（1）不够，但可以使用 n + O（logn）比较确定它们。
4. n + O（logn）是不够的，但可以使用 O（n）比较确定它们。
5. 以上都不是。

  

在这里，我想到的方式是采取3个变量（例如：MIN ₁ ，MIN ₂ ＆amp; MIN ₃ 其中MIN ₁ 是最小的＆amp; MIN ₃ 是这3个中最大的一个），用列表的1 ^st 3元素初始化它们，扫描列表一次。对于列表中的每个数字x，我们有以下4种情况：

     

  
1. 如果 x＆lt;最小 ₁ 然后，Min ₃ = Min ₂ ; Min ₂ = Min ₁ ;最小 ₁ = x;
  
2. 否则，如果最小 ₁ ＆lt; x＆lt;最小 ₂ 然后，Min ₃ = Min ₂ ; Min ₂ = x;
  
3. 否则，如果 Min ₂ ＆lt; x＆lt;最小 ₃ 然后，最小 ₃ = x;
  
4. 否则，如果 Min ₃ ＆lt; x 然后，什么都不做
        

所以，基本上在最坏的情况下需要 3n比较，在最好的情况下需要 0比较。

     

如果可以以更简单（更少时间限制）的方式完成，请纠正我。实际上我对选项 3 和 4 感到困惑。

问题2

使用比较确定一组 n 不同数字中的最小数字和最大数字。

1. 这两个元素可以使用 O（log ¹⁰⁰ n）比较来确定。
2. O（log ¹⁰⁰ n）不够，但可以使用 n + O（logn）比较确定它们。< / LI>
3. n + O（logn）不够，但可以使用3.⌈ ⁿ / ₂ 来确定它们⌉比较。
4. 3.⌈ ⁿ / ₂ ⌉不够，但可以使用 2确定它们。（n- 1）比较。
5. 以上都不是。

  

像以前一样使用类似的参数我得出答案 2（n-1）。虽然我仍然对选项 2 和 4 感到困惑。

Answer 1

问题1： 您可以通过首先与MIN2进行比较，将算法改进为2n比较。这仍然是O（n）。 要查看n + O（1）是不够的，请注意有n *（n-1）*（n-2）种可能性，其中MIN1，MIN2和MIN3位于其中。 以对数为基数2得到所需比较数的下限。

问题2： 这可以通过比较两个连续的元素，然后将较小的与当前的最小值进行比较，将较大的值与当前的最大值进行比较，在3 * ceil（n / 2）中完成。