斐波纳契数算法

Question

Fibonacci序列最常见的递归算法如下所示：

unsigned int fib(unsigned int n){
   return (n < 2) ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

在时间和空间复杂性方面，最有效的斐波那契算法是什么？

Answer 1

Jan提出的公式并不是很神奇（如果你对线性代数有基本的了解，我可以在这里证明它，并且感兴趣）。

这也是最快的方式。所以使用JavaScript（我可以用其他语言做到这一点，你只是喜欢它：

var sqrt5= Math.sqrt(5);
var phi = (1 + sqrt5) / 2;

function fibonacci(n){
     return (Math.pow(phi,n) - Math.pow(-phi,-n)) / sqrt5;
}

如果由于某种原因你非常想避免它 - 你可以使用一种非常基本的动态编程形式O(n)（而不是你现在拥有的指数时间）。而不是每次都计算最后两个数字 - 你记得它们。

function fib(n){
    var x=1,y=1,t;
    for(var i=1;i<n;i++){ 
        t=x;
        x+=y;
        y=t;
    }
    return x;
}

几乎立即返回fib(50)（递归方法需要很长时间）

Answer 2

使用浮点计算整数通常是一个坏主意。我在上面看到的答案也是如此，使用封闭的公式。

有一个令人惊讶的知名公式，我将在下面说明。更好的方法是使用以下矩阵：[[1 1] [1 0]]。可以证明，将其提高到第n次幂会得到[[f（n + 1）f（n）] [f（n）f（n-1）]]。如果你不想使用矩阵，你可以使用4个参数，当然，使用快速取幂来得到O（log N）中f（N）的结果。

请在此处查看更详细的说明：Nth Fibonacci number O(log n)

如果您需要任何额外的细节，请告诉我。