Question

我正在尝试将一个函数集成到一个点列表上，并将整个数组传递给一个集成函数，以便对该事物进行矢量化。对于初学者来说，调用scipy.integrate.quad太慢了，因为我有类似10 000 000点积分的东西。使用scipy.integrate.romberg可以更快，几乎是瞬间完成技巧，而四边形很慢，因为你必须循环它或向量化它。

我的功能非常复杂，但为了演示目的，假设我想将x ^ 2从a集成到b，但x是一个用于评估x的标量数组。例如

导入numpy为np

from scipy.integrate import quad, romberg

def integrand(x, y):   

    return x**2 + y**2


quad(integrand, 0, 10, args=(10) # this fails since y is not a scalar

romberg(integrand, 0, 10)  # y works here, giving the integral over
                           # the entire range

但这只适用于固定界限。有没有办法做类似

的事情

z = np.arange(20,30)
romberg(integrand, 0, z)  # Fails since the function doesn't seem to
                          # support variable bounds

我唯一看到的方法就是在numpy中重新实现算法本身，然后使用它，这样我就可以有变量边界。任何支持这样的功能？还有romb，你必须直接提供integrand的值和dx间隔，但这对我复杂的函数来说太不精确了（marcum Q函数，找不到任何实现，这可能是另一种点缀它的方法）。

Answer 1

尝试评估特殊函数时，最好的方法是编写一个函数，该函数使用函数的属性在所有参数体系中快速准确地评估它。单一方法不太可能为所有参数范围提供准确（或甚至稳定）的结果。在这种情况下，对积分的直接评估在很多情况下几乎肯定会崩溃。

话虽如此，通过将积分转换为微分方程并求解，可以解决在多个范围内评估积分的一般问题。粗略地说，步骤将是

给定一个积分I（t），我假设它是函数f（x）从0到t的积分[这可以推广到任意下限]，把它写成微分方程dI / dt = F（X）。
在0到t的某些时间范围内，对于某些初始条件（此处为I（0）），使用scipy.integrate.odeint()求解此微分方程。该范围应包含所有感兴趣的限制。取样的精确程度取决于功能以及需要评估的准确程度。
结果将是我们输入的t集合从0到t的积分值。我们可以使用插值将其转换为“连续”函数。例如，使用样条线我们可以定义i = scipy.interpolate.InterpolatedUnivariateSpline(t,I)。
分别在数组b和a中给出一组上限和下限，然后我们可以将它们全部评估为res=i(b)-i(a)。

这种方法是否适用于您的情况需要您仔细研究它的参数范围。另请注意，Marcum Q函数涉及半无限积分。原则上这不是问题，只需将积分转换为有限范围内的积分。例如，考虑变换x-> 1 / x。无法保证这种方法在数值上对您的问题稳定。

scipy集成了带有变量边界的数组

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