Coq - 消除OR时出错

Question

我不知道为什么，但是在Coq中，当试图证明程序规范时，我在尝试消除OR假设时遇到错误：

Error: Cannot find the elimination combinator or_rec, the elimination of the
inductive definition Logic.or on sort Set is probably not allowed.

这是我要证明的定理：

Definition nat_div_mod : forall a b:nat, not(b=0) -> {qr:nat*nat | P a b qr}.

这是错误发生时的目标和上下文：

a : nat
b : nat
H : b <> 0
IHa : {qr : nat * nat | P a b qr}
x : nat * nat
H2 : P a b x
H0 : snd x < b - 1 \/ snd x >= b - 1
______________________________________
{qr : nat * nat | P (S a) b qr}

在此定理之前，我有这个定义和这些导入：

Definition P (a b:nat) (qr:nat*nat) : Prop := ... (* specification of div/mod *)
Require Import Omega.
Require Import Mult. 

当我尝试使用此策略时，我收到了上一个错误：

elim H0.

我真的不知道可能导致它的原因。

Answer 1

您无法对H0进行案例分析，因为{qr : nat * nat | P (S a) b qr}是Set或Type。仅or_ind定义or，因此需要Prop。如果您使用sum，则会sum_ind，sum_rec和sum_rect。

(snd x < b - 1) + (snd x >= b - 1)

Prop的设计方式与某些公理一致。