我遇到wait-for graphs，我想知道，是否有任何有效的算法来检测是否向有向图添加边缘会导致循环？
有问题的图表是可变的（他们可以添加或删除节点和边缘）。而且我们对实际知道一个有问题的周期并不感兴趣，只知道有一个是足够的（以防止添加一个有问题的边缘）。
当然可以使用算法来计算强连通组件（例如Tarjan）以检查新图是否是非循环的，但每次添加边时再次运行它似乎效率很低。 / p>
答案 0 :(得分：34)
如果我正确地理解了你的问题，那么只有在之前没有从v到u的路径时才会插入新的边缘（u，v）（即，如果（u，v）没有创建一个循环）。因此，您的图形始终是DAG（有向非循环图）。使用Tarjan算法检测强连通分量（http://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_strongly_connected_components_algorithm）在这种情况下听起来有点过分。在插入（u，v）之前，您需要检查的是是否存在从v到u的有向路径，这可以通过简单的BFS / DFS来完成。
所以最简单的方法是：（n = | V |，m = | E |）：
尽管在最坏的情况下插入（u，v）需要花费O（m）时间，但在你的情况下可能会非常快。当从v开始执行BFS / DFS以检查是否可以访问时，您只访问可从v访问的顶点。我猜想在您的设置中，图形非常稀疏，并且另一个可到达的顶点数不是那个高。
但是，如果你想改善理论运行时间，这里有一些提示（大多数表明这不会很容易）。假设我们的目标是在O（1）时间内测试是否存在从v到u的有向路径。此上下文中的关键字是DAG的传递闭包（即，当且仅当在DAG中存在从u到v的有向路径时，包含边（u，v）的图） 。不幸的是，在动态环境中保持传递闭包似乎并非那么简单。有几篇论文考虑了这个问题，我发现的所有论文都是STOC或FOCS论文，这表明它们非常<非常。我发现的最新（也是最快）的结果是由Sankowski（http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1033207）撰写的文章 Dynamic Transitive Closure via Dynamic Matrix Inverse 。
即使您愿意理解其中一种动态传递闭包算法（或者甚至想要实现它），它们也不会因为以下原因而加速。这些算法是针对这种情况而设计的，在这种情况下，您有很多连接查询（然后可以在O（1）时间内执行），并且图中只有少量更改。那么目标是使这些变化比重新计算传递闭包更便宜。但是，单次检查连接时，此更新仍然较慢。因此，如果您需要对每个连接查询进行更新，最好使用上面提到的简单方法。
那么为什么我提到这种保持传递闭包的方法，如果它不符合你的需要呢？好吧，它表明搜索只消耗O（1）查询时间的算法可能不会比使用BFS / DFS的简单算法更快地找到解决方案。您可以尝试的是获得比O（m）更快但比O（1）更快的查询时间，而更新也比O（m）快。这是一个非常有趣的问题，但在我看来这是一个非常雄心勃勃的目标（所以也许不要花太多时间去尝试实现它。）。
答案 1 :(得分：5)
正如Mark建议的那样，可以使用存储连接节点的数据结构。最好使用布尔矩阵|V|x|V|。可以使用Floyd-Warshall算法初始化值。这是在O(|V|^3)中完成的。
让T(i)设置包含顶点i路径的顶点，以及F(j)顶点集合，其中存在来自顶点j的路径。首先是i第{第1行}中的第一行和第j列中的第二行。
添加边(i,j)是一项简单的操作。如果之前未连接i和j，则来自a的每个T(i)和来自b的每个F(j)设置矩阵元素(a,b)为真。但操作并不便宜。在最坏的情况下，它是O(|V|^2)。这是在有向线的情况下，并且从末端到起始顶点添加边缘使得所有顶点连接到所有其他顶点。
删除边(i,j)并不是那么简单，但在最坏的情况下并不是更昂贵的操作:-)如果在删除边缘之后存在从i到j的路径，没有什么变化。用Dijkstra检查，小于O(|V|^2)。不再连接的顶点是(a,b)：
a T(i) - i - T(j)，
在b + F(j) 中j
删除边T(j)时只更改(i,j)，因此必须重新计算。这是通过任何类型的图遍历（BFS，DFS），通过从顶点j进入相反的边缘方向来完成的。这比O(|V|^2)更少。由于矩阵元素的设置在最坏的情况下再次为O(|V|^2)，因此该操作具有与添加边缘相同的最坏情况复杂度。
答案 2 :(得分：0)
如果以前的所有作业都按拓扑排序顺序排列。然后，如果你添加一个似乎制动排序的边缘，并且无法修复，那么你就有了一个循环。
https://stackoverflow.com/a/261621/831850
因此，如果我们有一个排序的节点列表：
1, 2, 3, ..., x, ..., z, ...
Such that each node is waiting for nodes to its left.
假设我们想要从x-＆gt; z添加边。好吧，这似乎制动了那种。因此，我们可以将x处的节点移动到位置z + 1，这将修复排序，如果没有任何节点（x，z）在x处有节点边缘。
答案 3 :(得分：0)
如果图形是定向的，您只需要检查新边缘应该开始的节点的父节点（向上导航直到到达根节点）。如果其中一个父节点等于边的末端，则添加边将创建一个循环。