为什么Kruskal和Prim MST算法对稀疏和密集图有不同的运行时间？

Question

我试图理解为什么Prim和Kruskal在稀疏和密集的图形方面有不同的时间复杂性。在使用几个小程序来演示每个小程序如何工作之后，我仍然对图的密度如何影响算法感到困惑。我希望有人能给我一个正确方向的推动。

Answer 1

维基百科根据 E ，边数和 V （顶点数）给出了这些算法的复杂性，这是一个很好的做法，因为它让你做了这种分析。

Kruskal的算法是O（ E log V ）。 Prim的复杂性取决于您使用的数据结构。使用邻接矩阵，它是O（ V ² ）。

现在，如果你为 E 插入 V ² ，那么你会看到你在评论中引用的密集图的复杂性，以及如果您为 E 插入 V ，那么你会得到稀疏的。

为什么我们为密集图插入 V ² ？即使在最密集的图形中，也不能有 V ² 边缘，所以很明显 E = O（ V ² ）。

为什么我们为稀疏图插入 V ？好吧，你必须通过稀疏来定义你的意思，但是如果每个顶点的边数不超过五个，我们称之为稀疏的图形。我会说这些图很稀疏：一旦你进入数千个顶点，邻接矩阵将主要是空的空间。这意味着对于稀疏图， E ≤5 V ，因此 E = O（ V ）。< / p>

Answer 2

这些顶点的数量是否有任何不同的复杂性？

对于稀疏图，通常有一个略微粗略的论证，即E = O（V）的边数，其中V是顶点数，对于密集图E = O（V ^ 2）。因为两个算法都可能具有依赖于E的复杂性，当你将它转换为依赖于V的复杂性时，你会得到不同的复杂性，这取决于密集或稀疏的图形

编辑：

不同的数据结构也会影响复杂性当然维基百科在this上有分解

Answer 3

Cormen等人的算法确实给出了分析，在两种情况下都使用图的稀疏表示。使用Kruskal的算法（链接顶点在不相交的组件中，直到所有东西都连接起来），第一步是对图形的边缘进行排序，这需要时间O（E lg E），并且它们只是确定没有其他时间比这更长。使用Prim的算法（通过添加最近的顶点来扩展当前树），他们使用Fibonacci堆来存储待定顶点的队列并获得O（E + V lgV），因为Fibonacci树减少了到顶点的距离在队列中只有O（1），并且每个边缘最多只执行一次。