Prim和Kruskal的算法复杂性

Question

给定带有权重的无向连通图。 w：E-> {1,2,3,4,5,6,7} - 意味着只有7个权重。 我需要在O（n + m）中使用Prim算法找到生成树，在O（m * a（m，n））中使用Kruskal算法。

我不知道该怎么做，真的需要一些关于权重如何帮助我的指导。

Answer 1

您可以更快地对边缘权重进行排序。

在Kruskal算法中，您不需要O（M lg M）排序，您只需使用计数排序（或任何其他O（M）算法）。因此最终的复杂性是O（M）用于排序，O（Ma（m））用于联合发现阶段。总计为O（Ma（m））。

对于Prim算法的情况。您不需要使用堆，您需要7个列表/队列/数组/任何内容（具有恒定时间插入和检索），每个权重一个。然后当你正在寻找最便宜的外向边缘时，你检查其中一个列表是非空的（从最便宜的一个）并使用该边缘。由于7是常数，因此整个算法在O（M）时间内运行。

Answer 2

根据我的理解，回答家庭作业并不受欢迎，但这可能对其他人有用，而不仅仅是你;）

<强>的Prim：

Prim是一种用于查找最小生成树（MST）的算法，就像Kruskal一样。 可视化算法的一种简单方法是在一张纸上绘制图形。 然后在所选的所有节点上创建可移动线（切割）。在下面的示例中，集合A将是剪切内的节点。然后，您选择穿过切口的最小边缘，即从线内的节点到外部的节点。始终选择重量最轻的边缘。添加新节点后，移动剪切，使其包含新添加的节点。然后重复，直到所有节点都在切割范围内。

该算法的简短摘要是：

1. 创建一个集合A，它将包含所选的顶点。它最初将包含一个由您选择的随机起始节点。
2. 创建另一个集合B.这最初将为空并用于标记所有选定的边。
3. 选择边E（u，v），即从节点u到节点v的边。边E必须是权重最小的边，其中节点u在集合A内且v不在内部答:(如果有几条边具有相同的重量，任何可以随意选择）
4. 将边缘（u，v）添加到集合B，将v添加到集合A.
5. 重复步骤3和4，直到A = V，其中V是所有顶点的集合。
6. 集合A和B现在描述你生成树！ MST将包含A和B中的节点，将描述它们如何连接。

<强>的Kruskal：

Kruskal与Prim相似，除了你没有切割。所以你总是选择最小的边缘。

1. 创建一个最初为空的集A.它将用于存储选定的边缘。
2. 从集合E中选择权重最小的边E，该集合E中不存在A.（u，v）=（v，u），因此您只能在一个方向上遍历边缘。
3. 将E添加到A。
4. 重复2和3直到A和E相等，也就是说，直到你选择了所有边缘。

我不确定这些算法的确切性能，但我认为Kruskal是O（E log E），Prim的性能基于您用来存储边缘的数据结构。如果使用二进制堆，则搜索最小边缘的速度比使用邻接矩阵存储最小边缘要快。

希望这有帮助！