numpy的fft结果的幅度乘以采样周期？

Question

我尝试通过一个例子来验证我对Numpy的FFT的理解：当没有对直接变换应用缩放时，exp(-pi*t^2)的傅里叶变换应该是exp(-pi*f^2)。

然而，我发现为了获得这个结果，我需要将FFT的结果乘以因子dt，这是我函数上两个采样点之间的时间间隔。我不明白为什么。有人可以帮忙吗？

以下是示例代码：

# create data
N = 4097
T = 100.0
t = linspace(-T/2,T/2,N)
f = exp(-pi*t**2)

# perform FT and multiply by dt
dt = t[1]-t[0]
ft = fft(f)  * dt      
freq = fftfreq( N, dt )
freq = freq[:N/2+1]

# plot results
plot(freq,abs(ft[:N/2+1]),'o')
plot(freq,exp(-pi*freq**2),'r')
legend(('numpy fft * dt', 'exact solution'),loc='upper right')
xlabel('f')
ylabel('amplitude')
xlim(0,1.4)

Answer 1

小心，你没有计算连续时间傅立叶变换，计算机使用离散数据，Numpy也是如此，如果你看一下它所说的numpy.fft.fft文档：

  

numpy.fft.fft（a，n =无，轴= -1）[来源]

     

计算一维离散傅里叶变换。

     

该函数利用有效的快速傅里叶变换（FFT）算法计算一维n点离散傅立叶变换（DFT）

这意味着您正在计算由等式定义的DFT：

连续时间傅立叶变换由下式定义：

如果你做数学来寻找它们之间的关系：

正如您所看到的，有一个常数因子1/N，它正是您的比例值dt（x[n] - x[n-1]，其中n在[0，T]中，间隔等于{{1 }}）。

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只是对您的代码发表评论，导入所有内容1/N代替使用不是一个好习惯：

from numpy import *