无向图中的前沿

Question

CLRS - 第22章

  

定理22.10

     

在无向图G的深度优先搜索中，G的每个边都是   无论是树边还是后边缘。

     

证明让（u，v）成为G的任意边，并且假设没有丢失   普遍性，u.d＆lt; v.d.然后搜索必须发现并完成v   在它结束之前（虽然你是灰色的），因为v在你的邻接上   名单。如果第一次搜索探索边缘（u，v），它就在   从u到v的方向，然后v是未被发现的（白色）直到那个   时间，否则搜索已经探索过这个优势   从v到u的方向。因此，（u.v）成为树边缘。如果   搜索（u，v）首先从v到u的方向，然后（u，v）   是一个后缘，因为在边缘第一时你仍然是灰色的   探讨。

我当然理解这个证据;但对前沿的想法并不十分确信。

在上图中，存在从第一顶点到第三顶点（第一行）的前沿。第一个顶点是源。

据我所知，DFS（S）将包括前向顶点1 - > 3.（我显然是错的，但我需要有人帮我直截了当！）

Answer 1

看起来你没有包含“前沿”的定义，所以我将从我学到的定义开始。

  

假设u.d＆lt; v.d，DFS标记边缘（u，v）前沿 if   当从u到v越过边缘时，v已被标记为已访问。

因此，我声称你不能在无向图中有前沿。

为了矛盾而假设有可能。因此，目标节点已标记为已访问。因此，DFS已经到达并穿过所有相邻边缘。特别是，你必须已经越过相反方向的边缘。因此，边缘已被标记为某种类型的边缘，因此不会被标记为“前沿”。

因此，前沿只能出现在有向图中。

---

现在，为了防止你混淆“前沿”和“树边缘”，你描述的边缘仍然不一定是树边缘。如果在穿越时，它只是树边缘，这是您第一次访问目标节点。在无向图中考虑它的简单方法是，当您遍历边时，如果已经到达目标节点，则它是后边缘，否则是树边缘。

Answer 2

我相信你所缺少的是关于算法访问不同顶点的顺序的假设。

假设算法以字典顺序访问顶点。让我们用这个方式命名顶点：

 -------
|       |
S - A - B
|   |   |
C - D - E

在这种情况下，前沿将是S->A，A->B，B->E，E->D，D->C。其余边缘是后边缘。

现在让我们重命名图表：

 -------
|       |
S - B - A
|   |   |
C - D - E

在这种情况下，前沿将是S->A，A->B，B->D，D->C，D->E（请注意S->A和S->B与前一个示例中的边缘不同。）

如您所见，输出取决于算法选择顶点的顺序。当图表是匿名的时，任何输出都可能是正确的。

Answer 3

在一般图形的DFS树中，有TREE，FORWARD，BACK和CROSS边缘。

在无向图的DFS树中，可能的FORWARD边标记为BACK边。 可能的CROSS边缘标记为TREE边缘。

在这两种情况下，原因是边缘可以在两个方向上遍历，但是你首先将它们视为BACK和TREE，第二次作为FORWARD和CROSS，它们已被标记。

从某种意义上说，边缘既可以是前进也可以是后退，可以是CROSS和TREE，但最初分别是BACK和TREE。