Question

这是2D计算几何的一个简单问题，我一直未能成功解决：

we have four points A, B, C, D defining a CONVEX QUADRILATERAL 

(not a square or a rectangle!)

we know the (x, y) coordinates of each point.

有6个段连接2个点：

AB, AC, AD, BC, BD, CD

这些线段的一个交叉点将在图中形成一个点：两个对角线的交点。

对角线夫妇有3种可能：

[AB] and [CD]
[AC] and [BD]
[AD] and [BC]

（见下图）

我正在寻找一种简单的算法来查找当我改变A，B，C，D的（x，y）坐标时发生的3种可能情况中的哪一种

Answer 1

走AB，AC，AD。
测量它们之间的角度（两个归一化矢量的点积是它们之间的角度的余弦）。测量角度CAB，CAD，BAD并找到两个最小角度。
这两个最小的角度共享一面。这边是对角线。属于非共享边的点形成另一个对角线。

实施例

测量角度BAC，CAD，BAD。
BAC和CAD是两个最小的角度。（另外，角度BAC和CAD的总和将等于角度BAD，所以你也可以检查它。）
他们分享AC。这使得AC成为第一个对角线，这意味着BD是另一个对角线。

不适用于凹几何体。

更好的解释（附图）

diagram

在这张图片中，∠DAB = ∠DAC + ∠BAC。因此，∠DAC < ∠DAB和∠BAC < ∠DAB。 AC是共享的，是对角的。 BC是另一个对角线。

即。在所有情况下，两个小角度形成“大”角度，并且它们的共享侧将“大”角分成两个小角度。对于凸四边形中的单个顶点，只需要检查3个角度，这足以找到所有对角线。

矢量标准化。

归一化向量是长度为1.0的向量。要标准化矢量，请按因子1.0/length进行缩放。长度可以用点积计算。

normalizedVector = scale(originalVector, 1/length(originalVector))（注意这里长度为0的向量。）
length(vector) = sqrtf(dotProduct(vector, vector))
“缩放”向量将其与标量相乘。

Answer 2

我能弄清楚的简单：

取点A。
测量矢量AB，AC，AD的斜率。

看看他们之间的关系。

  Case 1: SAC>SAB>SAD,
  Case 2: SAB>SAC>SAD,
  Case 3: SAB>SAD>SAC.

考虑360度差异。

P.S。我不确定你是否关心角度> 4的四边形180.如果是，你必须另外考虑它们。

Answer 3

提示：我认为你要从定义凸包点和线开始。 Wiki-Graham Scan Alg.可用于确定参与创建凸包的线段。一旦确定了线段，就可以轻松找到对角线。使用链接中的示例，可以在数组中存储以下线段（按算法确定的顺序）（每对点定义一个线段）：

P,A
A,B
B,D
D,P

从这个数组中，你可以立即得到对角点为P，B和A，D。

该算法不需要角度计算，也没有区域形状的假设。

Answer 4

点{A，B，C，D}形成4个三角形：ABC，ABD，ACD和BCD。计算它们的方向产生一个4位二进制特征，它确定凸包的顺序如下：

       signature key: "+" for counterclockwise, "-" for clockwise

A A A B
B B C C   convex hull, in counterclockwise order:
C D D D

+ + + +   quadrilateral ABCD
+ + + -   triangle ABD (C is internal)
+ + - +   triangle ABC (D is internal)
+ + - -   quadrilateral ABDC
+ - + +   triangle BCD (A is internal)
+ - + -   (should not happen)
+ - - +   quadrilateral ADBC
+ - - -   triangle ADC (B is internal)

          (inverting all signature bits reverses hull orientation)

- + + +   triangle CDA (B is internal)
- + + -   quadrilateral CBDA
- + - +   (should not happen)
- + - -   triangle DCB (A is internal)
- - + +   quadrilateral CDBA
- - + -   triangle CBA (D is internal)
- - - +   triangle DBA (C is internal)
- - - -   quadrilateral DCBA

您可以按如下方式计算任何给定三角形的方向（顺时针或逆时针）：

struct Point {
  float x, y;
  Point(float xx,float yy):x(xx),y(yy){}
};
Point operator+(Point A, Point B) { return Point(A.x+B.x,A.y+B.y); }
Point operator-(Point A, Point B) { return Point(A.x-B.x,A.y-B.y); }

float orientation(Point A, Point B, Point C) {
  Point AB = B - A;
  Point AC = C - A;
  return AB.x*AC.y - AB.y*AC.x; // 2-D equivalent to the 3-D cross-product
}

如果三角形ABC是逆时针，则函数orientation(A,B,C)返回正值，如果是顺时针，则返回负值，如果是退化，则返回零。（如果你的坐标系是左手而不是右手，那么顺时针方向是逆时针交换的，但这并不重要......）

Answer 5

如果你的坐标是：

0,0
0,1
1,0
1,1

你可以认识到具有相同x和y坐标的那些形成对角线，而具有不同x和y坐标的那些形成对角线。

所以如果坐标是：

1,1
1,3
3,1
3,3

那么a，b处的字母，其中a = b形成一个，而a，b处的字母，其中a！= b形成一个，所以 1,1和3,3的字母是1，1,3和3,1也是如此。

请注意，这只适用于正方形。

另外，无论如何，你可以这样做：

你可以匹配不共享相同坐标的对。

代表

A--B
|  |
C--D

你可以知道A和D是一对，因为A和C共用一个X坐标，而A和B共用一个Y坐标。

没有共同的坐标==对角线。（以这种方式任何方形或矩形。）

希望这有帮助。

在由4个点定义的一组6个段中找到对角线的算法，形成凸四边形

5 个答案: