图形着色需要什么？

Question

图形着色的实际应用是什么。换句话说，为什么我们需要使用这样的算法来优化颜色数量（问题的一些重要特征）。

Answer 1

您似乎对graph coloring的内容有所误解，可能还有graph的内容。
实际颜色与此无关，图形着色用于解决资源数量有限或其他限制的问题。颜色只是您尝试优化的任何资源的抽象，图表是您问题的抽象。

网上有大量关于图论的资源，简而言之 - 图是一组元素（称为顶点）的抽象表示，其中一些元素共享一个连接（称为边缘）。这当然是最基本的概念，还有许多其他属性可以添加到其上，例如有向边，权重等，但这个概念现在应该足够了。

图形通常用于模拟各种现实世界的问题（有时也会出现问题，因为数学家和计算机科学家毕竟仍然需要继续发表论文），现在我们有许多算法可以有效地处理它们（在复杂性方面），找到可能有趣的各种因素以解决上述问题。或者，我们有时可以证明使用任何有效的算法都无法解决问题。图形着色是其中之一（或更准确地说，问题：can a graph be colored in up to k colors或问题what is the minimal number of colors needed to color the graph），除非我们处理图形的某些子类型，例如平面图（邻近地图）国家是一个很好的例子，因为它被用于一些有趣的图形着色证明）。这里的着色意味着将“颜色”或数字附加到每个顶点，使得没有两个带有连接边的顶点具有保存值。

现实问题的一个例子可以应用图形着色：你设计一个编译器，在一个给定的程序中你观察N个变量，并希望将它们中的尽可能多的分配到寄存器中可能（其余的必须溢出到内存，这是更慢，最好避免）。但是，您的CPU总共只有16个逻辑寄存器。但是，从好的方面来说 - 你知道哪些变量在相同的上下文和时间中使用，哪些不是。显然，不在一起的那些可以使用相同的寄存器。那么，您可以将所有变量分配到现有的寄存器集中吗？

要解决此问题，您可以构建一个图形，其中变量是顶点，并且边连接在同一时间帧使用的每两个变量。以最小数量的“颜色”着色图表将告诉您总共需要多少个寄存器，因为每种颜色都可以分配给寄存器，并且由于着色前提 - 没有2个变量同时存活可以使用相同的“颜色” “（注册），因为它们将通过边缘连接，并且不能以相同的方式着色。

Answer 2

Sudoku solver是图表着色派上用场的典型示例。

请注意，此处的颜色数量受游戏规则的限制。图形着色算法中的“颜色”通常是具象而非文字。数字通常使用数字1-9而不是颜色，但这并不能阻止图形颜色相关。

Answer 3

有许多实际应用依赖于图形着色。例如，蜂窝天线的频率分配是一个着名的问题。在这个问题中，人们只能使用少量的频率（颜色），并将它们分配给天线，使客户端始终连接到其中一个天线。当几个天线的覆盖区域重叠时出现问题，并且在这种情况下，我们希望具有至少一个具有唯一频率（颜色）的天线。在这个问题中，不能使用简单的正确（非单调）着色。

在上述情况下，我们处理超图的着色。我们根据着色问题定义超图。并且有不同的着色变体，例如无冲突着色，唯一最大着色。在静态情况下已经进行了许多研究，其中超图不随时间而变化。在在线设置的情况下，有很多有趣的研究正在进行，其中超边缘可能会随时间变化（比如某些天线停止工作，或者新天线固定在某个位置）。

您还可以参考 1 调查报告，详细了解有趣的着色问题及其应用。