Question

对于作业，我需要找到一种算法，可以测试数字n是时间O（log log n）时间的4的幂。我不知道如何处理这个问题，也不知道哪些数据结构或算法是合适的。有没有人对如何解决这个问题有任何建议？

Answer 1

O(log log n)要求有点奇怪。如果你正在处理无界的整数，并且这些整数用通常的二进制形式表示，那么你真的无法检查n的所有位。在这种情况下，你不可能比O(log n)做得更好。另一方面，如果您只计算基本操作，可以在O(1)时间内完成。

这是一些Python代码：

>>> def is_power_of_four(n):
...     return n & (n-1) == 0 and n % 3 == 1
... 
>>> [n for n in range(-10**6, 10**6) if is_power_of_four(n)]
[1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 262144]

就位操作而言，此算法为O(log n)。就操作计数而言，它是O(1)。说明：n & (n-1)是应用于n和n-1的{{3}}操作。当且仅当n为2的幂或n == 0时，该值为零。在两个权力中，四个权力的余数1模3，而其他两个权力的余数2。余数测试也方便地排除案例n == 0。

如果您还想知道四个n的次幂，而不仅仅是确定n是否为4的幂，那么这是一个不同的问题，templatetypedef已经给出了有效的答案。

Answer 2

如果你知道单词大小，你可以比O（log log N）做得更好 - 实际上，你可以在O（1）中用它编译下来的4个机器指令。例如，如果假设32位整数，则可以执行以下操作：

int is_power_of_4(int x) {
    return ( (x & (-x)) & 0x55555554 ) == x;
}

对于不同的字大小，只需更改常量。

x & (-x)技巧是一个众所周知的黑客，它返回的数字只是x中最不重要的1位。 & 0x5554然后屏蔽两个奇数幂，然后比较原始失败，如果x中有任何其他设置位。

Answer 3

我将假设数字表示为固定宽度的整数，它允许在时间O（1）内完成基本操作，如比较，加法，乘法等。

请注意，如果您有一个数字n，则该数字n中包含O（log n）位。如果我们让b是数字中的位数，那么期望的运行时间将是O（log b）。换句话说，我们希望找到一些函数，其运行时间是数字中位数的对数。

由于我们试图检查数字是否为4的幂，我们试图查看该数字是否具有某个数字k的形式4 ^k。这是我们可以用来做到这一点的一种可能方法：

计算4 ¹，4 ²，4 ⁴，4 ⁸，4 ¹⁶，...，4 ^{2 ^x}直到我们找到一个大于数字n的数字。这意味着如果n是4的幂，则它必须是夹在4 ⁰和4 ^{2 ^x}之间的4的幂。由于以下原因，此步骤最终将采用O（log log n）时间：数字n可写为4 ^{log ₄ n}。一旦4 ^{2 ^x}≥4^{log ₄ n}，上述过程就会终止^x≥log₄ n，当x≥log₂ log ₄ n时发生。因此，只有O（log log n）总迭代次数，每次迭代需要时间O（1）。
在[0,2 ^x]范围内进行二元搜索，以确定k的哪个值（如果有）满足n = 4 ^k。此步骤的运行时间为O（x），因为在大小为2 ^x的范围内，二进制搜索将花费时间O（log 2 ^x）= O（x）。而且，我们知道x = O（log n）。在步骤（1）中，我们保持指数加倍，直到它超过log ₄ n的值。这意味着在最坏的情况下，x可以是2 log ₄ x，因此x = O（log n）。因此，此步骤也需要O（log log n）时间。

由于步骤（1）和（2）各自花费时间O（log log n），因此总体时间复杂度为O（log log n）。

注意：您可以将此问题视为n的对数上的“猜数字游戏”的变体。一个经典的采访问题是“我正在考虑一个自然数n，你应该试着猜测它。”您可以使用上述方法在O（log n）时间内解决它。在这种情况下，您试图猜测4的指数是否正常，因此您可以将该过程应用于数字的对数以获得O的运行时间（log log n）。

希望这有帮助！

Answer 4

对于无符号整数，您可以使用：

bool is_pow4(DWORD x)
    {
/*
    4^0 =    1 = 00000000001b
    4^1 =    4 = 00000000100b
    4^2 =   16 = 00000010000b
    4^3 =   64 = 00001000000b
    4^4 =  256 = 00100000000b
    4^5 = 1024 = 10000000000b
    -------------------------
    or together  10101010101b
    negate       01010101010b = A....AAAh

*/
    if (!x) return false;
    if (DWORD(x&(x-1))) return false;   // not power of 2 (more than 1 bit is set)
    return !(x&0xAAAAAAAA);             // not setted any bit from negated mask
    }

它与Lee Daniel Crocker的答案基本相似
但它只使用无符号的整数
并且还检测到1为4的幂，这是真的（Lee Daniel Crocker代码错误）
还添加了一些内容以更好地理解它是如何工作的
主要思想是pow2检测
pow2号码只有1位和0（二进制）
所以pow2 -1只是一个（二进制）
如果你和它在一起应该得到0
假设它也是4的力量只是使用否定的面具
如果位设置在错误的位置（pow2而不是pow4）而不是简单并检测它
可以使用任何位数...掩码总是AAAAAAA .... AAAAAh为4的权力

这里也解决了非常类似的问题：https://stackoverflow.com/a/19888301/2521214

PS。复杂性与x - ，＆amp;

所以对于正常数字O（1）
和bignums取决于实施通常为O（log n）
以bignum为基础记录，例如log（2 ^ 32，n）

Answer 5

使用面膜稍微便宜一些。

#include <stdio.h> 
#include <string.h>

int main ()
{
   int x;
   int mask;

   memset(&mask, 0x55, sizeof(int));
   scanf("%d",&x);

   if ((x) && ((x & (x-1)) == 0) && (x & mask))
       printf("Power of four\n");
   else
       printf("Not power of four\n");
   return (0);
}

Answer 6

在此提供机器便携式解决方案。此解决方案不需要任何预先计算的数字，也不会对机器的位宽做出任何假设。

bool isPowerOfFour(int num) {
    int s = ceil(sqrt(num));
    // s > 0 makes sure 0 is not power of four
    // 4^x -> 2^(2x) so sqrt of it should be 2^x all we need to do is to tell whether the sqrt is a power or two
    // but firstly we need to make sure sqrt(num) is an integer so we use s*s == num
    // then use (s&(s-1)) == 0 to tell whether it is a power of 2
    return s > 0 && s*s == num && (s&(s-1)) == 0; 
}

确定一个数字是否是时间O的幂（log log n）

6 个答案: