如何计算具有硬限制的函数的大O？

Question

作为我最近看到的编程作业的一部分，学生被要求找到他们的功能的大O值来解决难题。我很无聊，并决定自己编写程序。但是，我的解决方案使用我在问题中看到的模式来跳过大部分计算。

Big O显示时间如何根据缩放n而增加，但随着n缩放，一旦达到模式的重置，它所花费的时间也会重置为低值。我的想法是当O(nlogn % k)重置时k+1为O(1)。另一个想法是，由于它有一个硬限制，因此值为k，因为这是任何常数的大O.其中一个是正确的，如果没有，那么限制应该如何表示？

作为重置的示例，def Entry(a1, q): F = [a1] lastnum = a1 q1 = q % 31336 rows = (q / 31336) for i in range(1, q1): lastnum = (lastnum * 31334) % 31337 F.append(lastnum) F = MergeSort(F) print lastnum * rows + F.index(lastnum) + 1 值为31336。 在n = 31336处，需要31336步，但是在n = 31337处，需要1步。

代码是：

MergeSort

O(nlogn)是一种标准合并排序，其复杂度为{{1}}。

Answer 1

嗯，我用来考虑大O问题的简单方法是将n视为如此大，以及无限。如果你没有特别关注非常大的数字上的字节级操作（因为q％31336会随着q变为无穷大并且实际上不是常数而缩放），那么你的直觉就是O（1）。< / p>

想象q接近无穷大，你可以看到q％31336明显在0到31335之间，正如你所指出的那样。这个事实限制了数组元素的数量，这将排序时间限制为某些常数（n * log（n）==> 31335 * log（31335）* C，对于某些常数C）。所以这是整个算法的恒定时间。

但是，在现实世界中，乘法，除法和模数都根据输入大小进行缩放。如果你有兴趣搞清楚，你可以查找Karatsuba算法。我会把它留作练习。

Answer 2

它是O(1)，您可以从大O definition推导出来。如果f(x)是解决方案的复杂性，那么：

带

以及任何M > 470040（nlogn n = 31336）和x > 0。这从定义中暗示：

Answer 3

如果此问题有几个不同的实例，每个实例都有自己的 k 值，那么该方法的复杂性不是O（1），而是O(k·ln k)。