什么是BFS的时间复杂度取决于图表的表示？

Question

如果我使用的话，我想知道BFS的时间复杂度是多少：

• 邻接矩阵
• 邻接清单
• 边缘列表

它们的空间复杂度是否相同？

Answer 1

使用邻接矩阵实现的BFS的复杂性将是O（| V | ² ）。并且当由邻接列表实现时O(|V| + |E|)。

  

为什么在Adjacency Matrix中更多？

这主要是因为每次我们想要找到与给定顶点'U'相邻的边时，我们必须遍历整个数组AdjacencyMatrix[U]，这是不合适的|V| }。

想象一下BFS作为前沿发展。你得到一个起始顶点S，它位于0级。所有相邻顶点都在1级。然后，我们将级别为1的所有顶点的所有相邻顶点标记为级别2，这些顶点没有级别。因此，每个顶点仅属于一个边界（或级别）。当一个元素在边界时，我们检查一次它的相邻顶点，这需要O（| V |）时间。因为，边界覆盖| V |在算法过程中的元素，总时间将变为O（| V | * | V |），即O（| V | ² ）。

当由邻接列表和矩阵实现时BFS的复杂度差异是由于这样的事实：在邻接矩阵中，为了告知哪些节点与给定顶点相邻，我们采用O（| V |）时间，而不考虑边缘。然而，在邻接列表中，它立即可供我们使用，花费时间与相邻顶点本身成比例，这对于所有顶点的总和| V |是| E |。因此，邻接列表的BFS给出O（| V | + | E |）。

Answer 2

时间复杂性必然取决于表示。

正如link所暗示的那样，时间复杂度和邻接表是O（V + E），邻接矩阵是O（V ² ）。

Answer 3

首先让我们来看看时间的复杂性。如果邻接矩阵可以存储为sparse matrix，则空间复杂度将相同。稀疏矩阵实质上仅存储邻接矩阵的非零值，因此具有与邻接列表表示相同的空间复杂度，即O（| V | + | E |）

现在时间复杂了。进行BFS搜索的一种方式是简单地使用稀疏邻接矩阵，因为通常使用邻接列表表示，即O（| V | + | E |）。

在邻接矩阵上进行BFS的另一种方法是通过重复应用Y = G X来使用稀疏矩阵 - 向量乘法，其中G是稀疏邻接矩阵，X是边界上具有1s的稀疏向量。该操作基本上是G列的组合。如果执行此操作使得每个乘法花费与G的每列中访问的数据的大小和向量X中的非零的数量成比例的时间，那么时间复杂度将是也是O（| V | + | E |）。这种方法的一个优点是，通过用表示几个BFS搜索前沿的稀疏矩阵替换X，可以直接将其扩展到多个BFS搜索。有关使用稀疏矩阵的图算法实现的paper可以看到更多细节。

边缘列表通常不用于BFS，因为找到顶点的邻居是很昂贵的。

Answer 4

图的不同表示形式的时间复杂度：

1。边缘列表：

边列表由列表中的所有边组成。为了进行BFS，时间复杂度为O(E^2)。由于每个边u->v，您必须遍历整个边列表，找到源顶点为u的边并进行探索，然后浏览u->v中的顶点“ v”以进行BFS。

E是边数。

如果根据源索引和目标索引对边缘进行排序，则排序后的列表将按BFS顺序排列。只需遍历列表，您将获得BFS。

排序边缘列表的时间复杂度为O(E*log(E))。

2。邻接列表

邻接关系是键的映射，其中每个顶点都是键，并且指向从该键顶点入射或与该键顶点相邻的顶点列表。

为了执行BFS，请将任何顶点放入队列中并使其成为已访问节点，弹出队列[0]，选择起始顶点，浏览其所有相邻顶点，使其成为已访问节点并将其放入队列中，同样，弹出队列[0]并浏览所有未访问的顶点，直到队列为空。对于每个顶点，您仅遍历其相邻的未访问顶点（除了边线）。

因此，时间复杂度为O(V+E)

3。矩阵

在矩阵表示中，对于每个顶点，您都必须遍历所有顶点并检查是否存在未访问的顶点。因为对于每个顶点，我们都遍历所有顶点，

时间复杂度为O(V^2)