Question

N =迭代

由于某种原因，这段代码需要更多的迭代才能获得更准确的其他代码结果，任何人都可以解释为什么会这样吗？感谢。

    n,s,x=1000,1,0
    for i in range(0,n,2):
            x+=s*(1/(1+i))*4
            s=-s
    print(x)

Answer 1

那是因为你正在使用Leibniz series，并且已知非常（非常）缓慢地收敛。

Answer 2

正如我在评论中提到的，加快速度的唯一方法是转换序列。这是一个非常简单的方法，与欧拉变换有关（参见roippi's link）：对于交替序列的总和，创建一个由每对连续部分和的平均值组成的新序列。例如，给定交替序列

a0 -a1 +a2 -a3 +a4 ...

其中所有a s都是正数，部分和的序列是：

s0=a0  s1=a0-a1  s2=a0-a1+a2  s3=a0-a1+a2-a3  s4=a0-a1+a2-a3+a4 ...

然后新的派生序列是：

(s0+s1)/2  (s1+s2)/2  (s2+s3)/2  (s3+s4)/2 ...

这通常可以更快地收敛 - 并且相同的想法可以应用于此序列。也就是说，创建另一个新的序列，平均序列的术语。这可以无限期地进行。在这里，我将再提一个级别：

from math import pi

def leibniz():
    from itertools import count
    s, x = 1.0, 0.0
    for i in count(1, 2):
        x += 4.0*s/i
        s = -s
        yield x

def avg(seq):
    a = next(seq)
    while True:
        b = next(seq)
        yield (a + b) / 2.0
        a = b

base = leibniz()
d1 = avg(base)
d2 = avg(d1)
d3 = avg(d2)

for i in range(20):
    x = next(d3)
    print("{:.6f} {:8.4%}".format(x, (x - pi)/pi))

输出：

3.161905  0.6466%
3.136508 -0.1619%
3.143434  0.0586%
3.140770 -0.0262%
3.142014  0.0134%
3.141355 -0.0076%
3.141736  0.0046%
3.141501 -0.0029%
3.141654  0.0020%
3.141550 -0.0014%
3.141623  0.0010%
3.141570 -0.0007%
3.141610  0.0005%
3.141580 -0.0004%
3.141603  0.0003%
3.141585 -0.0003%
3.141599  0.0002%
3.141587 -0.0002%
3.141597  0.0001%
3.141589 -0.0001%

所以在仅仅20个学期之后，我们已经获得了大约6位有效数字。 Leibniz基本序列仍然大约2位正确：

>>> next(base)
3.099944032373808

这是一个巨大的进步。这里的一个关键点是基础莱布尼兹序列的部分和给出了在“太大”和“太小”之间交替的近似值。这就是为什么平均它们更接近事实。相同的（在“太大”和“太小”之间交替）对于派生序列也是如此，因此平均它们的术语也会有所帮助。

当然，那都是手工波浪状的。严格的理由可能不是你感兴趣的东西; - ）

python中的Pi计算

2 个答案: