Question

数学常数π（pi）是一个无理数，其值约为3.1415928 ...π的精确值等于下面的无穷和：π= 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4 / 7 + 4/9 - 4/11 + ...我们可以通过计算前几个项的总和来得到π的良好近似值。编写一个函数approxPi（），它将浮点值误差作为参数，并通过计算上述和，逐项计算得出误差内的常数π，直到当前总和与前一个总和之差的绝对值（与少一个条款）不大于错误。一旦函数发现差异小于错误，它应该返回新的总和。请注意，此函数不应使用数学模块中的任何函数或常量。您应该使用所描述的算法来逼近π，而不是使用Python中的内置值。

我已经完成了以下程序，但出于某种原因，我从书中获得了不同的价值。

def pi(error):
    prev = 1
    current = 4
    i = 1
    while abs(current - prev) > error:
        d = 2.0* i +1
        sign = (-1)**i
        prev = current
        current = current + sign * 4 / d
        i = i +1
    return current

output In [2]: pi(0.01)
Out[2]: 3.146567747182955

但我需要获得此值

>>> approxPi(0.01)
3.1611986129870506
>>> approxPi(0.0000001)
3.1415928535897395

Answer 1

您使用的近似值在收敛时非常差，即您需要循环很多次才能获得合理的值。你看到差异将是1 / d，这就是准确性。您将需要循环5000次以获得4个数字50k次以获得下一个并获得500k以获得下一个等等（这是数字的指数时间复杂度）。

这可能是你在这里看到差异的原因之一，你只是得到了舍入错误加起来的情况。由于您需要使用那么多迭代，您将永远无法接近您正在使用的浮动的完整精度。另一个差异的来源是你的引用可能正在使用另一个退出条件，你的条件你应该得到一个小于提供的错误（理想情况下），你已经得到它（3.146567747182955-pi <0.01）。实际上，您的引用似乎正在使用条件abs(current-prev) > 4*error。

你正在使用的公式是pi = 4arctan（1）并且使用arctan（x）的McLaurin扩展得到x的值，该值完全收敛。为了获得更好的性能，应该在该扩展中使用较低的x。例如，可以使用pi = 16arctan（1/5）-4arctan（1/239）（这给出了数字的线性时间复杂度）：

def pi(error):
    a = 1.0/5
    b = 1.0/239

    prev = 1
    current = 0.0
    i = 0
    while abs(current - prev) > error:
        d = 2.0* i +1
        sign = (-1)**i
        prev = current
        current = current + sign * (16*a - 4*b)/d
        a = a*1.0/(5*5)
        b = b*1.0/(239*239) 
        i = i +1
    return current

Answer 2

我猜你的函数和approxPi的停止规则是不同的。事实上，您的估计更好。如果打印出当前的所有值，您将看到当我等于50时，您的函数会产生您想要的输出。但是，它超越了这一点并产生了更好的近似值。

Answer 3

因此，要获得您正在寻找的答案，那么所提出的问题在如何描述退出条件方面是错误的重新组织你得到Pi = 4 *（1/1 + 1/3 + 1/5 + ...），得到3.1611986129870506，误差为0.01，然后你查看后续术语并在术语＆lt;错误：

from itertools import count, cycle  #, izip for Py2
def approxPi(error):
    p = 0
    for sign, d in zip(cycle([1,-1]), count(1, 2)):  # izip for Py2
        n = sign / d
        p += n
        if abs(n) < error:
            break
    return 4*p

然后你得到正确答案：

>>> approxPi(0.01)
3.1611986129870506
>>> approxPi(0.0000001)
3.1415928535897395

使用您的代码（来自@PaulBoddington：Find the value of pi）

def pi(error):
    prev = 0
    current = 1
    i = 1
    while abs(current - prev) > error:
        d = 2.0*i + 1
        sign = (-1)**i
        prev = current
        current = current + sign / d
        i += 1
    return 4*current

注意：这不是当前总和与前一个总和之间的差异，因此问题是错误的，但它等于difference_between_sums < error*4。因此，为了获得原始代码的正确退出，只需将误差乘以4，例如：

>>> pi(0.04)
3.1611986129870506

pi的计算，得到的价值与书

3 个答案: