用于找到擦除网格中的点所需的最小镜头数的算法

Question

我在网站上看到了这个编程难题，并试图解决它。

问题

您将获得一个N x N网格，其中有一些点随机分布。您必须使用以下允许的操作删除这些点

• 您可以一次性删除一行中的所有点

• 或者您可以一次性删除列中的所有点。

你必须找到删除所有点所需的最小镜头数。

实施例

在以下网格中，您需要三次拍摄 - 一次水平拍摄，两次垂直拍摄以取消点。

我尝试了一种方法，用点来计算行和列，最小的是答案。但是在特定情况下它会失败，如上例所示。 这样做的方法是什么，或者是否存在类似于我可以参考解决此问题的任何情况？

修改

给出的约束是

1 <= N <= 1000
0 <= x,y <= 10^9
Time Limit: 2 sec

其中n是网格的维度（即nxn），x，y是坐标

Answer 1

将2D网格转换为二分图。左侧包含节点表示行，右侧包含节点表示列。对于包含点的每个单元格，假设它的坐标为（x，y），添加链接row_x和column_y的边。建立二分图后，使用匈牙利算法获得最大匹配。因为在二分图中，最大匹配的答案等于最小顶点覆盖，这正是你想要的。

匈牙利算法是O（V * E）算法。有关详细信息，请参阅Hungarian algorithm

有关二分图的更多信息，请参阅Bipartite graph，您可以找到为什么最大匹配等于此处覆盖的最小顶点。

Answer 2

我会尝试一种详尽的算法。如果你做得对，它并没有听起来那么糟糕。

你已经知道，在最坏的情况下，它需要N次射击（如果你在每一行或每一列射击，它肯定会起作用。）

因此，为了改善更糟糕的情况，您只需要尝试所有可能的列镜头+行镜头的排列，其中总镜头数小于N.例如，如果N = 4，则必须使用非平凡的解决方案be＆lt; = 3，所以尝试所有（列，行）镜头：

(0,3)
(1,2)
(2,1)
(3,0)

对于您想拍摄的任何轴（列或行），有(s choose N)种可能性。因此，大N的可能性的总数类似于(N/2) choose N，这对于N＆lt; 30无论如何。

我确信有更好的启发式算法，并且可能还有更好的案例算法。

Answer 3

我认为这里可能会应用递归。我不认为它是有效的，但跟随是一个你可以使用的想法。

从左上角点开始。您有以下方案：

1. 同一行和同一列中有另一个点。 - ＆GT;分支到三种可能性

2. 同一行中有另一个点但不在同一列中。 - ＆GT;拍摄此行，删除同一行中的所有点并移动到下一个点。

3. 同一列中有另一个点，但不在同一行.-＆gt;拍摄此列，删除同一列中的所有点并移动到下一个点。

4. 同一列或同一行中没有点。 - ＆GT;射击行或列，没关系，继续下一个点。

对于第一种情况，分支必须完成如下操作：

int minimumNumberOfLines( matrixOfDots ) {
  return min( 1 + minimumNumberOfLines( with row shot ),1 + minimumNumberOfLines( with col shot ), 2 + minimumNumberOfLines( with row and column shot ) ). 
}