Question

我正在尝试确定点p的（x，y，z）坐标。我所拥有的是到已知坐标的4个不同点m1，m2，m3，m4的距离。

详细说明：我所拥有的是4点（m1，m2，m3，m4）的坐标，它们不在同一平面上：

m1: (x1,y1,z1),

m2: (x2,y2,z2),

m3: (x3,y3,z3),

m4: (x4,y4,z4)

并且欧几里德距离形成m1-> p，m2-> p，m3-> p和m4-> p

D1 = sqrt( (x-x1)^2 + (y-y1)^2 + (z-z1)^2);

D2 = sqrt( (x-x2)^2 + (y-y2)^2 + (z-z2)^2);

D3 = sqrt( (x-x3)^2 + (y-y3)^2 + (z-z3)^2);

D4 = sqrt( (x-x4)^2 + (y-y4)^2 + (z-z4)^2);

我正在寻找（x，y，z）。我试图通过考虑欧几里德距离但没有管理来解决这个4线方程和3个未知数的非线性系统与matlab fsolve。

有两个问题：

如何找到点p的未知坐标：（x，y，z）
具有已知坐标的最小点数m是多少？为了找到（x，y，z）我需要的距离为何？

编辑：

这是一段没有解决方案的代码：

让我们说我的观点是：

m1 = [ 370; 1810;  863];

m2 = [1586;  185; 1580];

m3 = [1284; 1948;  348];

m4 = [1732; 1674; 1974];

x = cat(2,m1,m2,m3,m4)';

从每个点到p的距离是

d = [1387.5; 1532.5; 1104.7; 0855.6]

根据我的理解，如果我想运行fsolve，我必须使用以下内容： 1.创建一个功能 2.调用fsolve

function F = calculateED(p)

m1 = [ 370; 1810;  863];

m2 = [1586;  185; 1580];

m3 = [1284; 1948;  348];

m4 = [1732; 1674; 1974];

x = cat(2,m1,m2,m3,m4)';

d = [1387.5; 1532.5; 1104.7; 0855.6]

F = [d(1,1)^2 - (p(1)-x(1,1))^2 - (p(2)-x(1,2))^2 - (p(3)-x(1,3))^2;
 d(2,1)^2 - (p(1)-x(2,1))^2 - (p(2)-x(2,2))^2 - (p(3)-x(2,3))^2;
 d(3,1)^2 - (p(1)-x(3,1))^2 - (p(2)-x(3,2))^2 - (p(3)-x(3,3))^2;
 d(4,1)^2 - (p(1)-x(4,1))^2 - (p(2)-x(4,2))^2 - (p(3)-x(4,3))^2;];

然后调用fsolve：

p0 = [1500,1500,1189];  % initial guess
options = optimset('Algorithm',{'levenberg-marquardt',.001},'Display','iter','TolX',1e-1);                     
[p,Fval,exitflag] = fsolve(@calculateED,p0,options);

我正在运行Matlab 2011b。

我错过了什么吗？

最小二乘解决方案将如何？

这里需要注意的是，m1，m2，m3，m4和d值可能没有准确给出，但对于一个不应该成为问题的分析解决方案。

Answer 1

数学上很容易解决三点问题：

p = Table[ RandomReal[{-1, 1}, {3}], {3}]
r = RandomReal[{1, 2}, {3}]
Reduce[Simplify[ Table[Norm[{x, y, z} - p[[i]]] == r[[i]] , {i, 3}], 
      Assumptions -> {Element[x | y | z, Reals]}], {x, y, z}, Reals]

这通常会返回false，因为随机球体通常不会有三个交叉点。

当你有一个解决方案时，你通常会有这样的一对..

      (*   (x == -0.218969 && y == -0.760452 &&  z == -0.136958) ||
           (x == 0.725312 && y == 0.466006 &&   z == -0.290347)  *)

这有点令人惊讶地有一个失败的优雅分析解决方案。它有点牵扯，所以我会等着看是否有人把它拿得很方便，如果没有，有兴趣我会试着记住这些步骤..

根据Dmitys最小二乘建议编辑，近似解决方案：

p = {{370, 1810, 863}, {1586, 185, 1580}, {1284, 1948, 348}, {1732, 
1674, 1974}};
r = {1387.5, 1532.5, 1104.7, 0855.6};
solution = {x, y, z} /. 
              Last@FindMinimum[ 
                     Sum[(Norm[{x, y, z} - p[[i]]] - r[[i]] )^2, {i, 1, 4}] , {x, y, z}]
Table[ Norm[ solution - p[[i]]], {i, 4}]

如你所见，你离确切的还很远。

(* solution point {1761.3, 1624.18, 1178.65} *)
(* solution radii: {1438.71, 1504.34, 1011.26, 797.446} *)

Answer 2

我会回答第二个问题。让我们将未知点X命名为。如果您只知道A点并知道从X到A的距离，则X可以位于A中心的球体上。

如果你有两个点A，B那么X就在一个圆圈上，该圆圈的交点给出了A和B的中心（如果它们相交）。

第三个点将添加另一个球体，三个球体之间的最终交点将给出两个点。

第四点将最终确定你正在寻找的那两点中的哪一点。

这就是GPS实际运作的方式。你必须至少拥有三颗卫星。然后GPS将猜测两个点中哪一个是正确的，因为另一个点在太空中，但它无法告诉你高度。技术上它应该，但也有错误，所以你“看到”的卫星越多，错误越少。

找到了这个可能是起点的question。

Answer 3

取前三个方程，在MATLAB中求解3个方程和3个变量。求解方程后，您将获得两对值，或者我们可以说两组坐标为p。将每个集合保存在第4个等式中，你可以找出满足等式的集合是答案

给定距离到已知坐标的N个点的距离，确定三维空间中一个点的位置

3 个答案: