假设f(n) = O(s(n))和g(n) = O(r(n))。证明或反驳（通过举一个反例）以下声明：
我真的不知道从哪里开始......请向一名年轻学生伸出援助之手。请给出解释而不仅仅是解决方案。非常感谢你。
答案 0 :(得分：3)
正式定义：f(n)=O(s(n))当且仅当存在两个常量M>0和N>0，例如for all n>N , |f(n)|<M|g(n)|。 （存在等效定义，例如 adi 给出的定义，您可以在维基百科中找到更多内容）
这两个常数不是唯一的，但是它们不能依赖于变量n，如果它们不再存在，那么你就不会有任何常数。
我强烈建议您自己计算和操纵这些定义。只有阅读答案不足以应对涉及此处所述概念的未来问题
a） false ： 反例：
让f(n)=n，s(n)=n，g(n)=1和r(n)=n
f(n)=O(s(n))（N = 1，M = 1完成定义的工作）和g(n)=O(r(n))（相同，N = 1，M = 1）
让我们假设f(n)-g(n) = O(s(n)-r(n))，我们有两个常数N，M验证定义：
for all n>N , |f(n)-g(n)|<M|s(n)-r(n)|
=＆GT; for all n>N , |n-1|<0
=＆GT;我不会再进一步了，你可以明智地为n选择一个适当的值，这会导致矛盾......
所以 s（n）-r（n）不是f（n）-g（n）的Big-O
b） false ： 反例：
允许f(n)=1，s(n)=1和g(n)=n
f(n)=O(s(n))（N = 1，M = 1完成定义的工作）和f(n)=O(g(n))（相同，N = 1，M = 1）
让我们假设f(n)+g(n) = O(s(n))，我们有两个常数N，M验证定义：
for all n>N , |f(n)+g(n)|<M|s(n)|
=＆GT; for all n>N , 1+n<M*1
=＆GT;在这里我选择修复n for n=M+N (>N) , 1+M+N<M
=＆GT;自for n=M+N (>N) , 1+N<0
N>0
所以 s（n）不是g（n）+ f（n）的Big-O