如何修复碰撞响应中的圆和矩形重叠？

Question

由于在数字世界中几乎不会发生真正的碰撞，我们总会遇到“碰撞”圆与矩形重叠的情况。

如何在不与重叠的矩形完美碰撞的情况下放回圆圈？

假设矩形停止（零速度）并且轴对齐。

我会用a posteriori方法解决这个问题（二维）。

总之，我必须为t 解决这个等式：

其中：

• 是一个回答问题的数字：有多少帧之前 碰撞完美发生了吗？

• 是圆的半径。

• 是圈子的中心

• 是它的速度。

• 和是返回x和y坐标的函数 圆与矩形碰撞的点（当圆圈为时） 在位置，即处于与矩形完全碰撞的位置。

最近我解决了similar problem圈之间的碰撞问题，但现在我不知道A和B函数的定律。

Answer 1

经过多年的盯着这个问题，从未想出一个完美的解决方案，我终于做到了！

这几乎是一个简单的算法，不需要循环和近似。

这是它在更高层次上的工作方式：

1. 如果从当前点到未来点的路径穿过该平面，则计算每一侧平面的交叉时间。
2. 检查每侧的象限以进行单侧交叉，返回交叉点。
3. 确定圆圈碰撞的角落。
4. 解决当前点，角落和交叉中心（距离角落的半径）之间的三角形。
5. 计算时间，法线和交叉点中心。

现在到了血淋淋的细节！

函数的输入是边界（有左，上，右，下）和当前点（开始）和未来点（结束）。

输出是一个名为Intersection的类，它有x，y，time，nx和ny。

• {x，y}是交叉时间圆的中心。
• time是0到1之间的值，其中0表示开始，1表示结束
• {nx，ny}是法线，用于反映速度以确定圆的新速度

我们从经常使用的缓存变量开始：

float L = bounds.left;
float T = bounds.top;
float R = bounds.right;
float B = bounds.bottom;
float dx = end.x - start.x;
float dy = end.y - start.y;

计算每一侧平面的交叉时间（如果开始和结束之间的向量通过该平面）：

float ltime = Float.MAX_VALUE;
float rtime = Float.MAX_VALUE;
float ttime = Float.MAX_VALUE;
float btime = Float.MAX_VALUE;

if (start.x - radius < L && end.x + radius > L) {
   ltime = ((L - radius) - start.x) / dx;
}
if (start.x + radius > R && end.x - radius < R) {
   rtime = (start.x - (R + radius)) / -dx;
}
if (start.y - radius < T && end.y + radius > T) {
   ttime = ((T - radius) - start.y) / dy;
}
if (start.y + radius > B && end.y - radius < B) {
   btime = (start.y - (B + radius)) / -dy;
}

现在我们试着看看它是否严格地是一个侧面交叉点（而不是角落）。如果碰撞点位于侧面，则返回交叉点：

if (ltime >= 0.0f && ltime <= 1.0f) {
   float ly = dy * ltime + start.y;
   if (ly >= T && ly <= B) {
      return new Intersection( dx * ltime + start.x, ly, ltime, -1, 0 );
   }
}
else if (rtime >= 0.0f && rtime <= 1.0f) {
   float ry = dy * rtime + start.y;
   if (ry >= T && ry <= B) {
      return new Intersection( dx * rtime + start.x, ry, rtime, 1, 0 );
   }
}

if (ttime >= 0.0f && ttime <= 1.0f) {
   float tx = dx * ttime + start.x;
   if (tx >= L && tx <= R) {
      return new Intersection( tx, dy * ttime + start.y, ttime, 0, -1 );
   }
}
else if (btime >= 0.0f && btime <= 1.0f) {
   float bx = dx * btime + start.x;
   if (bx >= L && bx <= R) {
      return new Intersection( bx, dy * btime + start.y, btime, 0, 1 );
   }
}

我们已经到了这么远，所以我们知道没有交叉点，或者它与角落相撞。我们需要确定角落：

float cornerX = Float.MAX_VALUE;
float cornerY = Float.MAX_VALUE;

if (ltime != Float.MAX_VALUE) {
   cornerX = L;
} else if (rtime != Float.MAX_VALUE) {
   cornerX = R;
}

if (ttime != Float.MAX_VALUE) {
   cornerY = T;
} else if (btime != Float.MAX_VALUE) {
   cornerY = B;
}

// Account for the times where we don't pass over a side but we do hit it's corner
if (cornerX != Float.MAX_VALUE && cornerY == Float.MAX_VALUE) {
   cornerY = (dy > 0.0f ? B : T);
}

if (cornerY != Float.MAX_VALUE && cornerX == Float.MAX_VALUE) {
   cornerX = (dx > 0.0f ? R : L);
}

现在我们有足够的信息来解决三角形。这使用距离公式，找到两个向量之间的角度，以及正弦定律（两次）：

double inverseRadius = 1.0 / radius;
double lineLength = Math.sqrt( dx * dx + dy * dy );
double cornerdx = cornerX - start.x;
double cornerdy = cornerY - start.y;
double cornerdist = Math.sqrt( cornerdx * cornerdx + cornerdy * cornerdy );
double innerAngle = Math.acos( (cornerdx * dx + cornerdy * dy) / (lineLength * cornerdist) );
double innerAngleSin = Math.sin( innerAngle );
double angle1Sin = innerAngleSin * cornerdist * inverseRadius;

// The angle is too large, there cannot be an intersection
if (Math.abs( angle1Sin ) > 1.0f) {
   return null;
}

double angle1 = Math.PI - Math.asin( angle1Sin );
double angle2 = Math.PI - innerAngle - angle1;
double intersectionDistance = radius * Math.sin( angle2 ) / innerAngleSin;

现在我们已经解决了所有方面和角度，我们可以确定时间和其他一切：

// Solve for time
float time = (float)(intersectionDistance / lineLength);

// If time is outside the boundaries, return null. This algorithm can 
// return a negative time which indicates the previous intersection. 
if (time > 1.0f || time < 0.0f) {
   return null;
}

// Solve the intersection and normal
float ix = time * dx + start.x;
float iy = time * dy + start.y;
float nx = (float)((ix - cornerX) * inverseRadius);
float ny = (float)((iy - cornerY) * inverseRadius);

return new Intersection( ix, iy, time, nx, ny );

呜！这很有趣......就效率而言，这有很大的改进空间。您可以尽可能早地重新排序侧交叉检查以进行转义，同时尽量减少计算。

我希望在没有三角函数的情况下有办法实现，但我不得不放弃！

以下是我调用它并使用它来计算圆的新位置的示例，使用法线反射和交叉时间来计算反射的大小：

Intersection inter = handleIntersection( bounds, start, end, radius );

if (inter != null) 
{
   // Project Future Position
   float remainingTime = 1.0f - inter.time;
   float dx = end.x - start.x;
   float dy = end.y - start.y;
   float dot = dx * inter.nx + dy * inter.ny;
   float ndx = dx - 2 * dot * inter.nx;
   float ndy = dy - 2 * dot * inter.ny;
   float newx = inter.x + ndx * remainingTime;
   float newy = inter.y + ndy * remainingTime;
   // new circle position = {newx, newy}
 }

我已经在pastebin上发布了完整的代码，其中包含一个完整的交互式示例，您可以在其中绘制起点和终点，并显示时间以及由此产生的矩形反弹。



如果你想让它立即运行，你必须从my blog下载代码，否则将其粘贴在你自己的Java2D应用程序中。

编辑： 我已经修改了pastebin中的代码以包含碰撞点，并且还进行了一些速度改进。

编辑： 您可以使用该矩形的角度对旋转的矩形进行修改，以使用圆的起点和终点取消旋转矩形。您将执行交叉检查，然后旋转结果点和法线。

编辑： 如果圆的路径的边界体积不与矩形相交，我修改了pastebin上的代码以提前退出。

Answer 2

找到接触的时刻并不太难：

在碰撞前的时间步长（B）和（A）后的时间步长需要圆和矩形的位置。计算从圆心到其与A和B碰撞的矩形线的距离（即从点到线的距离的公式），然后碰撞时间为：

tC = dt*(dB-R)/(dA+dB),

其中tC是碰撞时间，dt是时间步长，dB是碰撞前的直线距离，dA是碰撞后的距离，R是圆的半径。

这假设一切都是局部线性的，也就是说，你的时间步长相当小，并且速度等在计算碰撞的时间步长中不会发生太大变化。毕竟，这是时间步长的点：在时间步长足够小的情况下，非线性问题是局部线性的。在上面的等式中，我利用了这一点：dB-R是从圆到线的距离，dA + dB是移动的总距离，所以这个问题只是将距离比等于时间比，假设一切都是近似线性的在时间步长内。 （当然，在碰撞时刻线性近似并不是最好的，但是为了找到碰撞时刻，问题是它是否在时间步长到到碰撞时刻是线性的。）

Answer 3

这是一个非线性问题，对吧？

您需要一个时间步，并通过在步骤开始时使用速度计算的位移来移动球。如果发现重叠，请减小步长并重新计算直到收敛。

您是否认为球和矩形都是刚性的，没有变形？摩擦接触？接触完成后你将如何处理球的运动？你正在转换到接触的坐标系（正常+切向），计算，然后转换回来吗？

这不是一个小问题。

也许你应该研究一下物理引擎，比如Box2D，而不是自己编码。