基于角度和速度计算交点

Question

我有一个由点，速度和方向组成的向量。我们将这个向量称为R.而另一个向量只包含一个点和一个速度。没有方向。我们称之为T. 现在，我要做的是找到这两个向量的最短交点。由于T没有方向，这被证明是困难的。我能够创建一个在CaRMetal中工作的公式，但我无法在python中使用它。 有人可以提出一种更有效的方法来解决这个问题吗？或者解决我现有的X公式？

公式：

_{（来源：bja888.com）}

键：

_{（来源：bja888.com）}

其中o或k是向量之间的速度差异。 R.speed / T.speed

Answer 1

我的数学可能有点生疏，但试试这个：

p 和 q 是位置向量， d 和 e 是方向向量。在 t 之后，您希望它们位于同一个地方：

（1） p + t * d = q + t * e

由于你想要方向向量 e ，所以像这样写

（2） e =（p-q）/ t + d

现在您不需要时间 t ，您可以使用速度约束 s 计算（否则您可以直接前往另一个点）：< / p>

方向向量 e 必须是 s 的长度，所以

（3） e ₁ ² + e ₂ ² = s ²

经过一些方程解决后，你最终得到了

（4）

I） a = sum（pq）/（s ² -sum（d ² ））

II） b = 2 * sum（d *（pq））/（s ² -sum（d ² ））

III） c = -1

IV） a + b * t + c * t ² = 0

总和遍历你的矢量组件（2d中2个，3d中3个）

最后一个是你应该能够自己解决的二次公式; - ）

Answer 2

1. 让我们假设第一点， A，零速度。在这种情况下，它 应该很容易找到 将给予的方向 最快的交集。
2. 现在，A 确实有速度。我们可以通过从B的向量中减去它的速度向量来强制它获得零速度。现在我们可以像在1中那样解决。

想到一个粗略的想法......

更多想法：

如果A静止不动，那么B方向需要进入的方向是直接朝向A.这使我们得到了A静止不动的坐标系中的方向。我们称之为d。

现在我们只需要转换方向B需要从A静止的坐标系转换到A以给定速度和方向移动的坐标系d2。

这只是矢量添加。 d3 = d - d2  我们现在可以找到d3的方向。

更正式一点：

A是静止的：

Sb = B的速度，已知，标量

alpha = atan2（a_y-b_y，a_x-b_x）

Vb_x = Sb * cos（alpha）

Vb_y = Sb * sin（alpha）

A以速度Sa移动，方向测试：

Vb_x'= Sb * cos（alpha）+ Sa * cos（beta）

Vb_y'= Sb * sin（alpha）+ Sa * sin（beta）

alpha'= atan2（Vb_y'，Vb_x'）

没有对上述内容进行测试，但乍看之下看起来很合理......

Answer 3

在自然界中，猎人使用恒定的轴承减小范围算法捕捉猎物。 我喜欢蝙蝠如何做到这一点的解释link text

我们需要再定义一些术语。

Point A         - the position associated with vector R.
Point B         - the position associated with vector T.
Vector AB    - the vector from point A to point B
Angle beta  - the angle between vector R and vector AB.
Angle theta - the angle between vector T and vector AB

公式通常以

表示

theta = asin( |R| * sin(beta) / |T| )

，其中

beta = acos（AB.x R.x + AB.y R.y）

你不想直接使用它，因为asin和acos只返回-PI / 2到PI / 2之间的角度。

beta  = atan2( R.y, R.x  ) - atan2( AB.y, AB.x )
x        = |R| * sin(beta) / |T|
y        = 1 + sqrt( 1 - x*x )
theta = 2*atan2( y, x )

当然如果x> 1 R太快，交叉点不存在

EG

Answer 4

好的，如果我理解你，你有

R = [xy0，v，r]    T = [xy1，v]

如果你担心最短的交叉点，这将在你的位置相同时实现，并且在欧几里德空间中，这也会迫使第二个“东西”的方向垂直于第一个。你可以写下这个方程并轻松解决它们。