证明一组点（在二维平面中）中的最远点应该位于凸包上

Question

这个问题不言而喻。需要证明给定一组2-d点，彼此最远的那对点必须位于凸包上。

Answer 1

点 A 位于凸包上，如果存在一条直线，那么你的点集中的所有点都在这一行的同一侧。对于一组中最远离彼此的两个点， A 和 B ，您可以证明这适用于垂直于 A 的线条和 B ，通过 A 和 B 。

Answer 2

在上面的答案中添加更多细节。

声明1 ：具有最小y坐标的点（P）将始终位于一组N个点的凸包上。

证明：我们假设具有最小y坐标的点（ P ）严格位于凸包内。然后在凸包上存在一个点（ Q ），使得Qy <1。 Py，因此与该点P具有最小y坐标的假设相矛盾。

权利要求2 ：当且仅当存在通过它的线时，A点在凸包上，点集中的所有点都在该线的同一侧。 / p>

证明 :(仅在条件下）考虑具有最小y坐标的点 P 。从权利要求1，点 P 位于凸包上，并且通过平行于x轴的 P 的线满足集合S的所有其他点位于其上方的标准。现在对于凸包上的任何其他点（ P'），我们可以旋转坐标轴，使得P'具有最小的y坐标。

（如果条件）让点P成为存在一条线（ L ），其中集合中的所有点都在一侧。以 L 的斜率变为零的方式旋转坐标轴，从而使P成为具有最小y坐标的点。现在使用权利要求1来表明它确实是凸包上的一个点。

现在可以利用索赔2 来证明最远的一对确实位于凸包上，如上一个答案所述。