Question

在飞机上给出n个点。 No 3是共线的。

给出数字k。

找到k个点的子集，使得k个点的凸包具有k个点的子集的任何凸包外的最小周长。

我可以想到一个天真的方法在O（n ^ k k log k）中运行。（找到大小为k的每个子集的凸包，并输出最小值）。

我认为这是一个NP问题，但我找不到任何适合减少的东西。

有人对此问题有任何想法吗？

一个例子，

the set of n=4 points {(0,0), (0,1), (1,0), (2,2)} and k=3

结果：

{(0,0),(0,1),(1,0)}

由于此组包含3个点，因此结果的凸包和周长小于任何其他3个点的结构。

Answer 1

这可以在O（kn ^ 3）时间和O（kn ^ 2）空间中完成（如果你想要实际的点，可以在O（kn ^ 3）中完成。）

本文：http://www.win.tue.nl/~gwoegi/papers/area-k-gons.pdf

Eppstein等人提出的算法可以解决这个问题的最小周长和其他权重函数，如面积，内部角度之和等，这些函数遵循一定的约束条件，即使标题表示最小面积（参见周长的推论5.3）。 / p>

基本思想是动态编程方法如下（阅读第4节的前几段）：

假设S是给定的点集，Q是具有最小周长的k点的凸包。

令p1为Q的最底点，p2和p3为逆时针顺序的船体上的下一个点。

我们可以将Q分解为三角形p1p2p3和k-1点Q'的凸包（与p1p2p3三角形共用p1p3）。

主要观察结果是Q'对于k-1是最佳的，其中最下面的点是p1并且下一个点是p3并且Q'的所有点位于线p2->的同一侧。 P3。

因此为每个四元组（pi，pj，pk，m）保持4d最佳多边形阵列，以便

多边形是一个恰好m个S点的凸包。
pi是多边形的最底部。
pj是逆时针顺序的下一个顶点，
多边形的所有点位于线pi的左侧 - > PJ。
所有点都与pi一样位于pj-> pk的同一侧。

在给定m <= k-1的最佳多边形的情况下，

可以帮助我们找到m = k的最佳多边形。

本文详细描述了如何实现这一目标，以达到规定的时空范围。

希望有所帮助。

Answer 2

这不是一个非常漂亮的解决方案。事实上，实现起来相当痛苦，但它肯定会给出多项式的复杂性。虽然复杂性也很大（n ^ 5 * k是我的粗略估计），但有人可能会找到一种方法来改进它，或者找到一个更好的解决方案。或者对你来说可能就足够了：即使这种复杂性也比暴力强大得多。

注意：带有S的最佳解决方案（设置H）包括来自H内的orignal设置的所有点。否则，我们可以丢弃H的一个边界点并包括那个遗漏点，减少周长（更新就像'优化' mbeckish 一样）

假设：设置中没有两个点形成一条垂直线。通过围绕坐标原点的一些无理角旋转整组点可以很容易地实现。

由于上述假设，任何复杂的船体都有一个最左边和一个最右边的点。此外，这两点将船体划分为top和bottom部分。

现在，让我们从这个船体的top部分和bottom部分中取一个部分。我们将这两个段middle segments和此船体右侧部分的周长称为right周长。
注意：我们需要了解这两个部分，我们需要了解凸包的右侧部分，以便继续将其构建到左侧。但只有两点而不是4点是不够的：我们无法以这种方式维持“凸性”的条件。

导致解决方案。对于每组点{p0，p1，p2，p3}和数字i（i <= k），我们存储可以实现的最小right周长，如果[p0，p1]，[p2] ，p3]是两个middle段，i是此解决方案的right部分中的点数（包括其中的点，不仅在边界上）。

我们从右到左遍历所有点。对于每个新点p，我们检查点{p0，p1，p2，p3}的所有组合，使得点p可以将此船体继续向左（在top上或{{1部分）。对于每个这样的集合和大小bottom，我们已经存储了最佳周长大小（参见上面的段落）。

注意：如果您将点i添加到由{p0，p1，p2，p3}点组成的p，您将增加集合大小{{1至少由1.但有时这个数字将是＆gt; 1：你必须在三角形{p，p0，p2}中包含所有点。它们不在船体上，而在船体内部。

算法结束了:)此外，尽管可怕的复杂性，您可能会注意到并非所有段[p0，p1]，[p2，p3]都可以是right-hull段：它应该大大减少实际计算时间。

更新这仅提供最佳的周边尺寸，而不是设置本身。但是找到这个集很简单：对于上面的每个“状态”，你不仅存储周长大小，还存储最后一点。然后，您可以“追踪”您的解决方案。这是非常标准的技巧，我想这对你来说不是问题，你似乎擅长算法：）

update2 这基本上是DP（动态编程），只是有点臃肿

Answer 3

一种可能的优化：您可以忽略其凸包含有不在子集中的点的任何子集。

证明：

如果您的凸包含有不在您的子集中的点，则从船体上的子集中移除一个点，并将其替换为船体内部的点。这将产生相等或更小周长的船体。

Answer 4

在平面情况下，您可以使用称为Jarvis march的算法，该算法具有最差的案例复杂度O（n ^ 2）。在此算法中，您开始在任意点构建外壳，然后检查下一个需要添加的点。伪代码取自wikipedia：

jarvis(S)
   pointOnHull = leftmost point in S
   i = 0
   repeat
      P[i] = pointOnHull
      endpoint = S[0]         // initial endpoint for a candidate edge on the hull
      for j from 1 to |S|-1
         if (S[j] is on left of line from P[i] to endpoint)
            endpoint = S[j]   // found greater left turn, update endpoint
      i = i+1
      pointOnHull = endpoint
   until endpoint == P[0]      // wrapped around to first hull point

据我所知，凸包对每组点都是唯一的，因此无需找到最小值。你只需找到一个，根据定义，它将是最小的一个。

修改

已发布的解决方案解决了具有最少点数的凸包。任何具有更多分数的船体将具有更长的周长，并且我误解了寻求最小周长的问题，而不是具有K点的集合的最小周长。

这个新问题可能是NP所怀疑的，并且最类似于最长的路径问题。不幸的是，我缺乏提供有价值的减少的聪明才智。

点集子集的最小周长凸包

4 个答案: