我正在尝试编写一个获得任意大小的矩阵A
的程序,并且SVD将其分解:
A = U * S * V'
其中A
是用户输入的矩阵,U
是由A * A'
的特征向量组成的正交矩阵,S
是奇异值的对角矩阵, V
是A' * A
的特征向量的正交矩阵。
问题是:MATLAB函数eig
有时会返回错误的特征向量。
这是我的代码:
function [U,S,V]=badsvd(A)
W=A*A';
[U,S]=eig(W);
max=0;
for i=1:size(W,1) %%sort
for j=i:size(W,1)
if(S(j,j)>max)
max=S(j,j);
temp_index=j;
end
end
max=0;
temp=S(temp_index,temp_index);
S(temp_index,temp_index)=S(i,i);
S(i,i)=temp;
temp=U(:,temp_index);
U(:,temp_index)=U(:,i);
U(:,i)=temp;
end
W=A'*A;
[V,s]=eig(W);
max=0;
for i=1:size(W,1) %%sort
for j=i:size(W,1)
if(s(j,j)>max)
max=s(j,j);
temp_index=j;
end
end
max=0;
temp=s(temp_index,temp_index);
s(temp_index,temp_index)=s(i,i);
s(i,i)=temp;
temp=V(:,temp_index);
V(:,temp_index)=V(:,i);
V(:,i)=temp;
end
s=sqrt(s);
end
我的代码返回正确的s
矩阵,以及“几乎”正确的U
和V
矩阵。但有些列乘以-1。很明显,如果t
是一个特征向量,那么-t
也是一个特征向量,但是反转的符号(对于某些列而不是全部)我得不到A = U * S * V'
。
有什么方法可以解决这个问题吗?
示例:对于矩阵A=[1,2;3,4]
,我的函数返回:
U=[0.4046,-0.9145;0.9145,0.4046]
并且内置的MATLAB svd
函数返回:
u=[-0.4046,-0.9145;-0.9145,0.4046]
答案 0 :(得分:12)
请注意,特征向量不是唯一的。乘以任何常数,包括-1
(只是改变符号),给出另一个有效的特征向量。鉴于特征向量的definition,这一点很清楚:
A·v = λ·v
MATLAB chooses规范化特征向量的范数为1.0,符号是任意的:
对于
eig(A)
,缩放特征向量,使每个向量的范数为1.0。 对于eig(A,B)
,eig(A,'nobalance')
和eig(A,B,flag)
,特征向量未规范化
如您所知,SVD和特征分解为related。下面是一些测试这个事实的代码。请注意,svd
和eig
会以不同的顺序返回结果(一个从高到低排序,另一个在反向排序):
% some random matrix
A = rand(5);
% singular value decomposition
[U,S,V] = svd(A);
% eigenvectors of A'*A are the same as the right-singular vectors
[V2,D2] = eig(A'*A);
[D2,ord] = sort(diag(D2), 'descend');
S2 = diag(sqrt(D2));
V2 = V2(:,ord);
% eigenvectors of A*A' are the same as the left-singular vectors
[U2,D2] = eig(A*A');
[D2,ord] = sort(diag(D2), 'descend');
S3 = diag(sqrt(D2));
U2 = U2(:,ord);
% check results
A
U*S*V'
U2*S2*V2'
我得到了非常相似的结果(忽略了小的浮点错误):
>> norm(A - U*S*V')
ans =
7.5771e-16
>> norm(A - U2*S2*V2')
ans =
3.2841e-14
为了获得一致的结果,通常采用一种约定,要求每个特征向量中的第一个元素具有特定符号。这样,如果你得到一个不符合这条规则的特征向量,你可以乘以-1
来翻转符号......