蒙特卡洛pi计算可以用于世界纪录吗？

Question

我有这个随机函数来计算pi Monte Carlo style：

max=10000000;
format long;

in = 0;
tic
for k=1:max
    x = rand();
    y = rand();
    if sqrt(x^2 + y^2) < 1
        in = in + 1;
    end
end

toc
calc_pi = 4*in/max 
epsilon = abs(pi - calc_pi)

calcPi(100000000);

如果我可以迭代10e100次，这个算法可以与the world record竞争吗？如果是这样，我怎样才能找到给出第N个数字的迭代次数？

Answer 1

这是计算pi的一个很好的练习，但它可能效率很低。一些评论：

• 在我喝咖啡之前，我的统计数据已经生锈，但我猜错误会与1 / sqrt(n_guess)一致。要获得N位数，您需要10^(-N)的错误，因此您需要大约(10^N)^2个随机猜测。如果您按照建议进行1e100猜测，那么您只能获得50位数的pi！因此，迭代次数是所需数字的一些指数函数，这是非常慢的。一个好的算法可能是你想要的数字的线性。

• 由于需要进行大量猜测，您必须开始质疑随机数生成器的质量。

• 您的算法将受到浮点错误的限制，大约为1e-16左右。计算pi的数字需要某种任意精确数字格式。

• 要加快算法速度，可以省略sqrt（）。

• 不要使用名为max的变量，这会覆盖现有函数。使用n_guess左右。

快速而肮脏的测试证明我的理论（咖啡之后）：

pie = @(n) 4 * nnz(rand(n,1).^2 + rand(n, 1).^2 < 1) / n;
ntrial = round(logspace(1, 8, 100));
pies = arrayfun(pie, ntrial);

loglog(ntrial, abs(pies - pi), '.k', ntrial, ntrial.^-.5, '--r')
xlabel('ntrials')
ylabel('epsilon')
legend('Monte Carlo', '1 / sqrt(ntrial)')

Answer 2

简答：不。

根据您的链接，世界纪录是1e13位数。如果您可以运行蒙特卡罗算法来获得10e100样本，您将获得pi的估计值，相对RMS误差为1 / sqrt（10e100）= .3e-50（见下文）。这只是第50位数字的精度。此外，它只是一个“概率”精度：你不会确定前50个数字是正确的;你只能说它们的概率是正确的。

找到N位精度所需的蒙特卡罗样本数量的一般规则是：M蒙特卡罗样本将给出相对RMS精度为1 / sqrt（M）。这意味着估计值与真值相差大约为真值的1 / sqrt（M）分数。为了合理地确信第N个数字是正确的，您需要相对RMS精度略好于10 ^ -N，根据规定的规则要求M = 10 ^（2N）个样本。

因此，如果您想要1e13位数的（概率）精度，则需要10 ^ 2e13蒙特卡罗样本，这是无法管理的。