中位数算法中位数：为什么将数组划分为大小为5的块

Question

在中位数算法算法中，我们需要将数组划分为大小为5的块。我想知道算法的发明者是如何得出神奇的数字＆＃39; 5＆＃39;而不是，可能是，7，或9或其他什么？

Answer 1

算法的数量必须大于3（显然是奇数）。 5是大于3的最小奇数。因此选择了5。

Answer 2

我认为，如果您检查＆＃34; O（n）运行时间的证明＆＃34; medians-of-medians algorithm的维基页面部分：

  

计算中值的递归调用不会超过最坏情况的线性行为，因为中位数列表是列表大小的20％，而另一个递归调用最多会在列表的70％上进行递归，从而使得运行时间

     

     

O（n）项c n用于分区工作（我们对每个元素进行了固定次数的访问，以便将它们形成为n / 5组并在O（1）时间内取每个中值）。   由此，使用归纳法，可以很容易地表明

     

这应该有助于你理解，为什么。

Answer 3

您还可以使用大小为3或4的块，如K. Chen和A. Dumitrescu（2015）的论文Select with groups of 3 or 4所示。这个想法是两次使用“中位数中位数”算法并在此之后进行分区。这降低了枢轴的质量，但速度更快。

所以而不是：

T(n) <= T(n/3) + T(2n/3) + O(n)
T(n) = O(nlogn)

一个人得到：

T(n) <= T(n/9) + T(7n/9) + O(n)
T(n) = Theta(n)

Answer 4

请参阅Brilliant.org上的说明。基本上，五个是我们可以用来维持线性时间的最小数组。用n = 5大小的数组实现线性排序也很容易。 laTex的歉意：

为什么5？

中位数中位数将列表分为长度为5到5的子列表 获得最佳的运行时间。记住，求小 通过蛮力（排序）列出的列表会花费少量时间，因此 子列表的长度必须相当小。但是，调整 子列表的大小为3，例如，确实更改了 更糟。

如果算法将列表分为长度为pp的三个子列表 将大于大约\ frac {n} {3} 3 n个元素，并且 它会小于大约\ frac {n} {3} 3 n个元素。 这会导致最坏的情况\ frac {2n} {3} 3 2n递归， 产生递归T（n）= T \ big（\ frac {n} {3} \ big）+ T \ big（\ frac {2n} {3} \ big）+ O（n），T（n）= T（3 n）+ T（3 2n）+ O（n）， 根据主定理，它是O（n \ log n），O（nlogn），这要慢一些 而不是线性时间。

实际上，对于形式T（n）\ leq T（an）+ T（bn）+ cnT（n）≤T（an）+ T（bn）+ cn，如果a + b <1a + b <1，则递归将满足 O（n）O（n），如果a + b> 1a + b> 1，则重复率通常等于 \ Omega（n \ log n）Ω（nlogn）。 [3]

中位数算法可以使用大于 5（例如7）并保持线性运行时间。但是，我们需要 保持子列表的大小尽可能小，以便对 子列表可以在实际上恒定的时间内完成。