是否有O（n）算法来构建最大堆？

Question

给定一个数组，是否有O（n）算法来构建最大堆？

Answer 1

是的，就像在这段代码中一样：

for (int i = N/2; i >= 0; --i)
    push_heap(heap + i, N - i);

（push_heap是一个函数，它接受指向堆和堆大小的指针并推送堆顶部，直到遵守堆条件或节点到达堆的底部。）

要了解这是O（N）的原因，请查看完整的二叉树：

• 1/2元素（最后一级，i> N / 2）被按下最多0步 - ＆gt; N / 2 * 0操作
• 1/4元素（最后-1级，i> N / 4）最多下推1步 - ＆gt; N / 4 * 1操作

• 1/8个元素（最后2个级别，i> N / 8）被按下最多2个步骤 - ＆gt; N / 8 * 2操作 ...

    N/4 * 1 + N/8 * 2 + N/16 * 3 + ... =
  
    N/4 * 1 + N/8 * 1 + N/16 * 1 + ... +
              N/8 * 1 + N/16 * 2 + ... =
  
    N/4 * 1 + N/8 * 1 + N/16 * 1 + ... +    // < N/2
              N/8 * 1 + N/16 * 1 + ... +    // < N/4
                        N/16 * 1 + ... +    // < N/8
                                   ... =    // N/2 + N/4 + N/8 + ... < N
  

希望数学不是太复杂。如果你在树上查看并添加每个节点可以向下推的程度，你会看到上限O（N）。

Answer 2

是的，有：Building a heap。

Answer 3

提示：假设您使用的是任意二叉树而不是数组。您能想到一种有效的方法来修复任何不满足堆属性的节点吗？

Answer 4

如果您使用Fibonacci Heap，则会获得amortized O（1）插入。因此，您可以从数组中以摊销的O（n）构建最大堆。

执行此类，我将其作为练习*。

_{*虽然，维基百科页面上有链接的示例实现。}

Answer 5

我不这么认为。我认为你能做的最好的事情就是O（log n），或者用像fib堆这样的东西做得更好。