如何计算场的拉普拉斯？

Question

我正在尝试使用 scipy.ndimage.convolve 计算2d字段 A 的拉普拉斯。

stencil = numpy.array([[0, 1, 0],[1, -4, 1], [0, 1, 0]])
scipy.ndimage.convolve(A, stencil, mode='wrap')

但这似乎并没有给我正确答案。我出错的任何想法，还是有更好的方法来计算numpy中的laplacian？

Answer 1

我有另一个想法：你是否考虑到你的模板，为了接近拉普拉斯算子，应该除以步骤** 2，其中步长是你的网格的步长？只有这样才能将ndimage.convolve结果与分析结果进行比较。

事实上，使用Gaussian，我得到的结果表明ndimage.convolve工作得很好：

from scipy import ndimage

stencil = numpy.array([[0, 1, 0],[1, -4, 1], [0, 1, 0]])
x = linspace(-10, 10, 100)
y = linspace(-10, 10, 100)
xx, yy = meshgrid(x, y)
image = exp(-xx**2-yy**2)  # Standard deviation in x or y: 1/sqrt(2)

laplaced = ndimage.convolve(image, stencil)/(x[1]-x[0])**2  # stencil from original post
expected_result = -4*image + 8*(xx**2+yy**2)*image  # Very close to laplaced, in most points!

Answer 2

您是否尝试过其他laplace卷积内核，例如[[1,1,1][1,-8,1][1,1,1]]？

Answer 3

5年前，我想知道还有人在乎......

我认为这是因为卷积方法只是一种近似，模板基本上是通过有限离散微分逼近二阶导数。增量越小，数值逼近越接近。

我已根据其他人做过一些测试＆＃39;信息。以下是代码和结果图：

import numpy
import scipy.ndimage.filters as filters
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt


stencil=numpy.array([[0,1,0],[1,-4,1],[0,1,0]])

fig=plt.figure(figsize=(10,10),dpi=100)

for ii,jj in enumerate([10,100,1000,10000]):

    x=numpy.linspace(-5,5,jj)
    xx,yy=numpy.meshgrid(x,x)
    step=x[1]-x[0]

    image=numpy.exp(-xx**2-yy**2)

    lap1=filters.laplace(image)/step**2
    #lap2=filters.convolve(image,stencil,mode='wrap')/step**2
    #lap3=signal.convolve2d(image,stencil,mode='same')/step**2
    lap4=4*image*(xx**2+yy**2)-4*image

    ax=fig.add_subplot(2,2,ii+1)
    img=ax.imshow(lap1-lap4)
    ax.set_title('stencil - analytical (dx=%.4f)' %step)
    plt.colorbar(img)

fig.tight_layout()
plt.show()

filters.laplace()，filters.convolve()和signal.convolve2d()都会给出非常接近的结果（事实上，如果你查看filters.laplace（）的源代码，它实际上是做同样的事情作为一个模板内核的卷积，所以我只包括filters.laplace()个。 请注意，上述所有内容都没有除以步长的平方。

该图显示增量步长越小，越接近分析解（即4z(x^2+y^2)-4z）。

Answer 4

我尝试了你的例子，它可以在我的机器上使用最新的SciPy。

我建议你绘制image-ndimage.convolve(…)以便了解卷积如何改变你的形象。

示例：

image = vstack(arange(-10, 10)**2 for _ in range(20))
ndimage.convolve(image, stencil, mode='wrap')

产量

array([[-38,   2,   2,   2,   2,   2,   2,   2,   2,   2,   2,   2,   2,...)

这是非常正确的（x ** 2的二阶导数为2） - 除了左边界。