构建二进制搜索树和AVL树所需的时间复杂度之间的差异？

Question

当我学习二元搜索树（平衡和不平衡）时，我想出了我需要解决的问题：

1. 如果构建二元搜索树（不需要平衡），使用n个元素，那么树构造的总时间复杂度是多少？

2. 如果AVL树是由n个元素构成的，那么构建该AVL树的时间复杂度是多少？

是否应该超过nlog（n）？因为我们需要大量的旋转来进行AVL树构建。

我知道AVL树中的插入和删除操作将是log（n）顺序（如果使用随机元素构造的二叉搜索树具有log（n）高度，则同样如此）。

但我需要了解整体树构建成本及其变化方式，因为我需要使用平衡搜索树进行分类。

Answer 1

让我们从构建AVL tree开始。要创建树，您必须在其中插入n个元素。要在平衡树中插入元素，您需要log(n)。因此，您最终得到O(n*log(n))。

回到常规BST。这是违反直觉的，但这取决于你如何构建这棵树。如果您事先不知道BST的所有元素（online algorithm），那么您必须逐个插入每个n元素。如果你非常不走运，插入的复杂性为O(n)，因此它会恶化到O(n^2)。

请注意，这种情况极不可能，但仍有可能。

但如果事先了解所有元素，您仍然可以实现O(nlog(n))。您可以对它们进行排序O(nlog(n))，然后按以下顺序插入元素。 Take the middle element and insert it as a root，然后递归地对剩下的两个部分做同样的事情。您最终将使用n插入log(n)元素来创建平衡的BST。

Answer 2

1. 可以证明BST的预期高度满足E [Xn] <= 3 log n + O（1），因此预期时间是O（n log n）。最坏的情况仍然是O（n ^ 2），例如如果输入已排序。
2. O（n log n）因为每个添加元素的旋转量是O（1）。