使用点积来确定点是否位于平面上

Question

给定A：a点，B：已知存在于平面P上的点，C：平面P的法线。我可以通过（A - B）之间的点积的结果确定A是否位于P上和C为零？ （或在一定精度范围内，我可能会使用0.0001f）

我可能只是缺少一些明显的数学缺陷，但这似乎比将点转换为三角形的坐标空间更简单快捷a.la Check if a point is inside a plane segment的答案

所以其次我猜;如果这是一个有效的检查，它是否比使用矩阵变换在计算上更快，如果我想要的是看点是否在平面上？ （而不是它是否位于所述平面上的多边形内，我可能会继续使用矩阵变换）

Answer 1

你是正确的，当且仅当dotProduct（A-B，P）= 0时，B通过A和普通P位于平面上。

为了估计这种事情的速度，你几乎可以计算乘法。这个公式只有三次乘法，所以它比几何与矩阵有关的速度要快。

Answer 2

上述答案更接近证据，但还不够。应该直观地说，仅使用两个矢量是不够的，因为对于一个，点P可以在平面上方，并且从它绘制到平面的垂直线仍将生成零点积，任何单个矢量位于平面上，就像这将是飞机上的P点。必要和充分的条件是，如果在平面上找到两个矢量，那么实际平面由两个矢量的叉积明确表示，即 的瓦特 = <强>û X <强> v 即可。根据定义， w 是区域向量，始终垂直于平面。

然后，对于有问题的点P，应该从 u 或 v 构建第三个向量 s ，并对进行测试w 由点积，st

w 。 s = | w || s | cos（90）= 0意味着点P位于由 w 描述的平面上，而这又由矢量 u 和 v 描述。