Question

程序需要读取三个坐标的值

P1（X1，Y1）
P2（X2，Y2）
P3（x3，y3）

以及另一个坐标P（x，y）并确定该点是否在由上述3点形成的三角形内。

Answer 1

执行此操作的正确方法是在给定三角形的三个点的情况下计算第四个点的barycentric coordinates。计算它们的公式在“转换为重心坐标”一节的末尾给出，但我希望在这里提供一个不那么数学强烈的解释。

为简单起见，假设您有一个结构point，其值为x和y。您将点数定义为：

point p1(x1, y1);
point p2(x2, y2);
point p3(x3, y3);

point p(x,y); // <-- You are checking if this point lies in the triangle.

现在，通常称为alpha，beta和gamma的重心坐标计算如下：

float alpha = ((p2.y - p3.y)*(p.x - p3.x) + (p3.x - p2.x)*(p.y - p3.y)) /
        ((p2.y - p3.y)*(p1.x - p3.x) + (p3.x - p2.x)*(p1.y - p3.y));
float beta = ((p3.y - p1.y)*(p.x - p3.x) + (p1.x - p3.x)*(p.y - p3.y)) /
       ((p2.y - p3.y)*(p1.x - p3.x) + (p3.x - p2.x)*(p1.y - p3.y));
float gamma = 1.0f - alpha - beta;

如果alpha，beta和gamma的所有内容都大于0，则点p位于由点{p1组成的三角形内1}}，p2和p3。

这背后的解释是，可以使用三角形的点和三个系数（每个点一个，在[0,1]范围内）描述三角形内的点：

p = (alpha)*p1 + (beta)*p2 + (gamma)*p3

重新排列此函数可以为您提供计算重心坐标的公式，但我觉得这样做的步骤可能超出了问题的范围。它们在我最常链接的维基百科页面上提供。

因此，每个系数必须大于0才能使点p位于三点所描述的区域内。

Answer 2

不是P1，P2和P3，而是将点假定为A，B和C.

          A(10,30)
            / \
           /   \
          /     \
         /   P   \      P'
        /         \
B (0,0) ----------- C(20,0)

算法：

1) Calculate area of the given triangle, i.e., area of the triangle ABC in the above diagram. 

    Area A = [ x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1-y2)]/2

2) Calculate area of the triangle PAB. We can use the same formula for this. Let this area be A1.
3) Calculate area of the triangle PBC. Let this area be A2.
4) Calculate area of the triangle PAC. Let this area be A3.
5) If P lies inside the triangle, then A1 + A2 + A3 must be equal to A.

以下是C中的程序：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/* A utility function to calculate area of triangle formed by (x1, y1), 
   (x2, y2) and (x3, y3) */
float area(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3)
{
   return abs((x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1)+ x3*(y1-y2))/2.0);
}

/* A function to check whether point P(x, y) lies inside the triangle formed 
   by A(x1, y1), B(x2, y2) and C(x3, y3) */
bool isInside(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3, int x, int y)
{   
   /* Calculate area of triangle ABC */
   float A = area (x1, y1, x2, y2, x3, y3);

   /* Calculate area of triangle PBC */  
   float A1 = area (x, y, x2, y2, x3, y3);

   /* Calculate area of triangle PAC */  
   float A2 = area (x1, y1, x, y, x3, y3);

   /* Calculate area of triangle PAB */   
   float A3 = area (x1, y1, x2, y2, x, y);

   /* Check if sum of A1, A2 and A3 is same as A */
   return (A == A1 + A2 + A3);
}

/* Driver program to test above function */
int main()
{
   /* Let us check whether the point P(10, 15) lies inside the triangle 
      formed by A(0, 0), B(20, 0) and C(10, 30) */
   if (isInside(0, 0, 20, 0, 10, 30, 10, 15))
     printf ("Inside");
   else
     printf ("Not Inside");

   return 0;
}

时间： O（1）

空间： O（1）

Answer 3

取三个给定点的平均值。这个新点P4将始终位于三角形内。

现在检查P和P4是否位于三条线P1P2 P2P3和P3P1的同一侧。您可以通过检查交叉产品(P -> P1) x (P -> P2)和(P4 -> P1) x (P4 -> P2)的符号（其中P-> P1是从P到P1的向量），然后检查其他两对来做到这一点。

确定点是否位于三角形内

3 个答案: