Question

我需要一个快速算法的例子，允许计算一个点是否位于3D的三角形上。我的意思是如果这个点在包含给定三角形的平面上的投影是在这个三角形的内部。

我需要计算一个点和一个三角形之间的距离（如果它的投影位于三角形内部，或者如果投影位于三角形之外，则三角形的点和边缘之间的点与该三角形的面之间）。

我希望我说得够清楚。我找到了一些使用重心坐标的2D示例，但是找不到3D的示例。有没有比计算点的投影更快的方法，将这个投影点和给定的三角形投影到2D并解决三角形中的标准点＃34;问题

Answer 1

如果三角形的顶点是A，B，C并且该点是P，那么首先找到三角形的正常N.为此，只计算N =（BA）X（CA），其中X是矢量叉积。

目前，假设P位于ABC的正常位置。

考虑具有面ABC，ABP，BCP，CAP的三维金字塔。当且仅当ABC与其他3个三角形中的每一个之间的二面角都小于90度时，P在ABC上的投影在其内部。反过来，这些角度等于N和相应的向外三角形法线之间的角度！所以我们的算法是这样的：

Let N = (B-A) X (C-A), N1 = (B-A) X (P-A), N2 = (C-B) X (P-B), N3 = (A-C) X (P-C)
return N1 * N >= 0 and N2 * N >= 0 and N3 * N >= 0;

星星是点积。

我们仍需要考虑P位于ABC正常位置的情况。有趣的是，在这种情况下，矢量N1，N2，N3现在指向金字塔，其中在上述情况下它们指向外部。这取消了相反的法线，上面的算法仍然提供了正确的答案。（如果发生这种情况，你不喜欢它吗？）

3d中的交叉产品每个需要6次乘法和3次减法。 Dot产品有3个乘法和2个加法。平均而言（例如，如果N1 * N <0，则不需要计算N2和N3），该算法需要2.5个交叉乘积和1.5个点乘积。所以这应该很快。

如果三角形形成不佳，那么您可能希望使用Newell算法代替任意选择的交叉积。

请注意，此处不处理任何三角形变为退化（线或点）的边缘情况。您必须使用特殊情况代码执行此操作，这不是很糟糕，因为零正常说明了ABC和P的几何形状。

这是C代码，它使用简单的标识比上面的数学更好地重用操作数：

#include <stdio.h>

void diff(double *r, double *a, double *b) {
  r[0] = a[0] - b[0];
  r[1] = a[1] - b[1];
  r[2] = a[2] - b[2];
}

void cross(double *r, double *a, double *b) {
  r[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1];
  r[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2];
  r[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];
}

double dot(double *a, double *b) {
  return a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];
}

int point_over_triangle(double *a, double *b, double *c, double *p) {
  double ba[3], cb[3], ac[3], px[3], n[3], nx[3];

  diff(ba, b, a);
  diff(cb, c, b);
  diff(ac, a, c);

  cross(n, ac, ba);  // Same as n = ba X ca

  diff(px, p, a);
  cross(nx, ba, px);
  if (dot(nx, n) < 0) return 0;

  diff(px, p, b);
  cross(nx, cb, px);
  if (dot(nx, n) < 0) return 0;

  diff(px, p, c);
  cross(nx, ac, px);
  if (dot(nx, n) < 0) return 0;

  return 1;
}

int main(void) {
  double a[] = { 1, 1, 0 };
  double b[] = { 0, 1, 1 };
  double c[] = { 1, 0, 1 };
  double p[] = { 0, 0, 0 };

  printf("%s\n", point_over_triangle(a, b, c, p) ? "over" : "not over");

  return 0;
}

我已经对它进行了轻微测试，似乎工作正常。

Answer 2

我们假设三角形的顶点是v，w和原点0。我们称之为p。

为了其他读者的利益，这里是您提到的2D三角形点的重心方法。我们在变量beta中解决了以下系统：

[v.x w.x] [beta.v]   [p.x]
[v.y w.y] [beta.w] = [p.y] .

测试0 <= beta.v && 0 <= beta.w && beta.v + beta.w <= 1。

对于三维投影点三角形，我们有一个类似但超定的系统：

[v.x w.x] [beta.v]   [p.x]
[v.y w.y] [beta.w] = [p.y] .
[v.z w.z]            [p.z]

linear least squares解决方案为beta和p所跨越的平面上最接近v的点（即投影）提供系数w。对于您的应用，通过以下正规方程式的解决方案可能就足够了：

[v.x v.y v.z] [v.x w.x] [beta.v]   [v.x v.y v.z] [p.x]
[w.x w.y w.z] [v.y w.y] [beta.w] = [w.x w.y w.z] [p.y] ,
              [v.z w.z]                          [p.z]

我们可以使用五个点产品将问题减少到2D情况。这应该与Nico建议的方法相当，但没有单一性。

如何确定一个点是否位于3D中的三角形之上

2 个答案: