检查3D点是否位于3D柏拉图实体内？

Question

是否有任何已知的方法可以快速有效地确定3D点是否位于已知大小的柏拉图体积内？

这对于立方体（六面体）或圆形（椭圆体）来说似乎很容易。我似乎无法想出四面体，八面体，十二面体或二十面体。我猜测有可能将形状分解为几个子实体，然后检查每个子实体，但是如果可能的话，我想避免任何类型的迭代求解器。

Answer 1

如果您正在寻找一种优化算法，您可以尝试检查该点是否位于实体的边界范围之外，并且只有当它没有时才检查曲面。

Answer 2

在查找2D点是否位于任何类型的多边形（2D空间）内的情况下，point in polygon是众所周知的问题。参见例如

• How can I determine whether a 2D Point is within a Polygon?。

多面体（3D）中的点问题是---对于任何类型的多面体的情况---相当有点诡计。但是，在您的情况下，您正在严格考虑凸多面体，因为所有柏拉图实体都属于后者类型。

在这种情况下，我可以指出两种方法来解决这个问题。

1 :(任何凸多面体的一般方法）您可以将您的问题视为查找一个点是否在一组已知点的convex hull范围内，在您的情况下，你的点是柏拉图实体的顶点，它们准确地描述了它们自身的凸包（没有“内部”顶点，由于凸起）。已经讨论了如何实现该问题的一般解决方案，例如，这里：

• Find if a point is inside a convex hull for a set of points without computing the hull itself

• 一个非常优雅的解决方案是让你的多面体描述一个可行的线性规划（LP）问题集，并且，通过附加的等式约束decisionVariable = myPoint（强制包含），你的LP将是如果该点位于您的多面体之外是不可行的，或者是可行的，否则（不需要求解最优性，只是为了可行性）。

2 ：如上所述，多边形中的2D点已经过充分研究，您甚至可以找到它的C ++代码in the SO link I provided above。由于您正在考虑3D中的凸多面体，我们知道切割这样的多面体的2D平面的交点将描述凸多边形。因此，对于您要研究的每个点，您创建包含点的平面，并与多面体（您的柏拉图实体）相交：剩下的问题是解决“多边形问题中的2D点”，在这架飞机上。

Answer 3

从该点到该形状外的某处绘制一条线，并计算它通过的表面数量。如果数字是奇数，则该点在内部，否则它在外面。

QED

Answer 4

对于八面体，将音量和点旋转在一起可以简化问题。

旋转具有边界半径r的八面体，使顶点位于(r,0,0) (-r,0,0) (0,r,0) (0,-r,0) (0,0,r)和(0,0,-r)。然后将相同的轮播应用于(x,y,z)点并检查|x| + |y| + |z| ≤ r。

或者，在不旋转的情况下，通过顶点ABCD，ABEF和CDEF计算到平面的距离，并将它们用作(x,y,z)坐标来检查{{1} }}

可以类似地检查四面体，但它会更复杂。