如何为Prim的算法更新堆中的元素优先级？

Question

我正在研究Prim的算法。代码中有一个部分，切割的下一个顶点将到达属于MST的顶点集。在这样做的同时，我们还必须“更新另一组中与离开顶点相邻的所有顶点”。这是来自CLRS的快照：

有趣的部分在于行号。 11.但是由于我们在这里使用堆，我们只能访问最小元素，右（heap[0]）？那么我们如何从堆中搜索和更新顶点，即使它们不是最小的顶点，因此除了线性搜索之外我们知道它们在哪里？

Answer 1

可以构建支持名为 reduce-key 的操作的优先级队列，该操作将现有对象的优先级置于优先级队列中并降低它。现有库附带的大多数优先级队列版本都不支持此操作，但可以通过多种方式构建它。

例如，给定二进制堆，您可以维护一个辅助数据结构，该结构从元素映射到二进制堆中的位置。然后，您将更新二进制堆实现，以便每次执行交换时，都会更新此辅助数据结构。然后，要实现reduce-key，您可以访问该表，在二进制堆中找到该节点的位置，然后继续冒泡步骤。

其他基于指针的堆如二项式堆或Fibonacci堆显式支持此操作（Fibonacci堆是专门为它设计的）。您通常有一个从对象到它们在堆中占用的节点的辅助映射，然后可以重新连接指针以在堆中移动节点。

希望这有帮助！

Answer 2

指针启用高效的复合数据结构

你有这样的东西（使用伪代码C ++）：

class Node
    bool visited
    double key
    Node* pi
    vector<pair<Node*, double>> adjacent //adjacent nodes and edge weights
    //and extra fields needed for PriorityQueue data structure
    // - a clean way to do this is to use CRTP for defining the base
    //   PriorityQueue node class, then inherit your graph node from that

class Graph
    vector<Node*> vertices

CRTP：http://en.wikipedia.org/wiki/Curiously_recurring_template_pattern

算法中的优先级队列Q包含Node* 类型的项目，其中ExtractMin为您提供最少{{1}的Node* }}

您不必进行任何线性搜索的原因是，当您获得key时，您拥有u = ExtractMin(Q)。因此，Node*可以获得u->adjacent中的v和每个相邻节点的 const时间中的G.Adj[u] 。由于您有一个指针w(u,v)到优先级队列节点（ v），您可以在每个相邻节点的对数时间更新它在优先级队列中的位置（大多数优先级队列的实现）。

为了命名一些特定的数据结构，下面使用的v函数具有Fibonnaci堆和配对堆（摊销）的对数复杂度。

• 配对堆：http://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_heap
  • 自己编写代码并不难 - 维基百科拥有大部分源代码
• 斐波纳契堆：http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_heap

算法的更具体的伪代码

DecreaseKey(Q, v)