Question

我在圆圈内有一个点，圆圈外有另一个点。我想找到线与圆相交的点。我怎么能在Windows Phone 8中这样做。请给我任何想法。

Answer 1

这既是一个简单而又复杂的问题，很大程度上取决于你的意思。我从你的开场白中说你正在谈论线段而不是真正的（无限）线。

在这种情况下，你有几个案例需要解决。交点仅在一个点位于圆内并且一个点位于圆外时发生。下面的算法没有捕获

的情况

该线与圆圈相切
一个或两个点正好在圆圈上
该线在两点相交

这些被归结为“无交叉”结果。这仅处理内部严格一个点和圆外一个点的情况。

首先你需要一些辅助功能。它们使用基本几何来确定点是在圆内还是在圆外（圆上的点被计为“外部”），以及两个点是否形成与圆相交的线段。

private bool IsInsideCircle(Point CirclePos, float CircleRad, Point checkPoint)
{
    if (Math.Sqrt(Math.Pow((CirclePos.X - checkPoint.X), 2) +
                  Math.Pow((CirclePos.Y - checkPoint.Y), 2)) < CircleRad)
    { return true; } else return false;
}

private bool IsIntersecting(Point CirclePos, float CircleRad, Point LineStart, 
                                                              Point LineEnd)
{
    if (IsInsideCircle(CirclePos, CircleRad, LineStart) ^
        IsInsideCircle(CirclePos, CircleRad, LineEnd)) 
    { return true; } else return false;
}

注意使用^（异或） - 我们想要一个内部点和一个外部点。

有了这个，我们可以发挥更大的作用：

private int Intersect (Point CirclePos, float CircleRad, 
                       Point LineStart, Point LineEnd, ref Point Intersection)
{
    if (IsIntersecting(CirclePos, CircleRad, LineStart, LineEnd)) 
    {
        //Calculate terms of the linear and quadratic equations
        var M = (LineEnd.Y - LineStart.Y) / (LineEnd.X - LineStart.X);
        var B = LineStart.Y - M * LineStart.X;
        var a = 1 + M*M;
        var b = 2 * (M*B - M*CirclePos.Y - CirclePos.X);
        var c = CirclePos.X * CirclePos.X + B * B +  CirclePos.Y * CirclePos.Y -
                CircleRad * CircleRad - 2 * B * CirclePos.Y;
        // solve quadratic equation
        var sqRtTerm = Math.Sqrt(b * b - 4 * a * c);
        var x = ((-b) + sqRtTerm)/(2*a);
        // make sure we have the correct root for our line segment
       if ((x < Math.Min(LineStart.X, LineEnd.X) || 
          (x > Math.Max(LineStart.X, LineEnd.X)))) 
        { x = ((-b) - sqRtTerm) / (2 * a); }
        //solve for the y-component
        var y = M * x + B;
        // Intersection Calculated
        Intersection = new Point(x, y);
        return 0;
    } else {
        // Line segment does not intersect at one point.  It is either 
        // fully outside, fully inside, intersects at two points, is 
        // tangential to, or one or more points is exactly on the 
        // circle radius.
        Intersection = new Point(0, 0);
        return -1;
    }            
}

此函数将交点作为ref参数，并返回-1（无交点）或0（找到交点）。我使用int返回值，以防您想要扩展它以区分边缘情况。交点是从基本几何计算的 - 记住一条线表示为（参见：Slope Intercept and Point Slope Form）

y = M * x + B

和一个圆圈（以(C.x, C.y)为中心，半径为r）

（x - C.x）^ 2 +（y - C.y）^ 2 - r ^ 2 = 0

您可以通过替换来解决这个方程组：

（x - C.x）^ 2 +（（M * x + B） - C.y）^ 2 - r ^ 2 = 0

扩展和收集您获得的条款：

（1 + M ^ 2）x ^ 2 + 2 *（M * B - M * Cy - Cx）x +（Cx ^ 2 + Cy ^ 2 + B ^ 2 - r ^ 2 - B * Cy） = 0

这是形式

ax ^ 2 + bx + c = 0
其中：
a =（1 + M ^ 2）
b = 2 *（M * B-M * C.y-C.x）
c =（C.x ^ 2 + C.y ^ 2 + B ^ 2 - r ^ 2 - B * C.y）

可以通过二次公式求解（参见：Quadratic Formula）：

x =（ - b±Sqrt（b ^ 2 - 4ac））/（2a）

这为我们的线段所在的无限线提供了两个根 - 我们在上面进行最后检查，以确保我们为特定线段选择解决方案。

这就是为什么在数学课上注意很重要！

现在......取决于你在做什么，有很多方法可以优化它。上面的解决方案概述了基本方法，但是如果需要的话，当然可以更快地完成这项工作。显然，参数可以根据您使用的任何类型的点或对象进行调整。我尽量让它变得一般。

另外，要展示如何调用它的示例：

Point iPt = new Point();

var rslt = Intersect(new Point(2,3), 5.0f, new Point(2,2), 
                     new Point(8,6), ref iPt);

if (rslt == 0) {
    MessageBox.Show(String.Format("Intersection at: x = {0}, y = {1}",
                                   iPt.X, iPt.Y));
} 
else {
    MessageBox.Show("No Intersection");
}

Answer 2

数学中有一个小错字。 c＃代码没问题。

... r ^ 2 - B * C.y）= 0

应该是

... r ^ 2 - 2B * C.y）= 0

也 c =（C.x ^ 2 + C.y ^ 2 + B ^ 2 - r ^ 2 - 2B * C.y）

如何确定直线和圆之间的交点？

2 个答案: