圆与直线之间的交点（极坐标）

Question

我想知道是否有办法找到用极坐标写的直线和圆之间的交点。

% Line
x_line = 10 + r * cos(th);
y_line = 10 + r * sin(th);
%Circle
circle_x = circle_r * cos(alpha);
circle_y = circle_r * sin(alpha);

到目前为止，我已尝试使用intersect(y_line, circle_y)功能，但没有成功。我对MATLAB比较陌生，所以请耐心等待。

Answer 1

我已经概括了以下内容，因此可以使用除a=10之外的其他值...

a = 10; % constant line offset
th = 0; % constant angle of line 
% rl = ?? - variable to find

% Coordinates of line: 
% [xl, yl] = [ a + rl * cos(th), a + rl * sin(th) ];

rc = 1; % constant radius of circle
% alpha = ?? - variable to find

% Coordinates of circle:
% [xc, yc] = [ rc * cos(alpha), rc * sin(alpha) ];

我们想要交叉点，所以xl = xc，yl = yc

% a + rl * cos(th) = rc * cos(alpha)
% a + rl * sin(th) = rc * sin(alpha)

将两个方程的两边平方并求它们。简化sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1。扩展括号并进一步简化

% rl^2 + 2 * a * rl * (cos(th) + sin(th)) + 2 * a - rc^2 = 0

现在您可以使用二次公式来获取rl的值。

测试判别：

dsc = (2 * a * (cos(th) + sin(th)) )^2 - 4 * (2 * a - rc^2);
rl = [];
if dsc < 0
    % no intersection
elseif dsc == 0
    % one intersection at 
    rl = - cos(th) - sin(th);
else
    % two intersection points
    rl = -cos(th) - sin(th) + [ sqrt(dsc)/2, -sqrt(dsc)/2];
end

% Get alpha from an earlier equation
alpha = acos( ( a + rl .* cos(th) ) ./ rc );

现在，您可以从每条线的某些已知和未知值中获得该线与圆的0,1或2个交点。基本上这只是联立方程式，请参阅本文的开头以获得数学基础 https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations

Answer 2

你需要用数字做吗？这个问题有一个简单的解析解决方案：点(10 + r*cos(th),10 + r*sin(th))位于半径为R的圆上iff

  

(10+r*cos(th))^2 + (10+r*sin(th))^2 == R^2

     

＆LT; =＆GT; 200+r^2 + 2*r*(cos(th)+sin(th)) == R^2

     

＆LT; =＆GT; r^2 + 2*r*sqrt(2)*sin(th+pi/4) + 200 - R^2 = 0

这是r中的二次方程。如果判别式为正，则有两个解（对应于两个交点），否则，没有。

如果计算出数学，则交集条件为100*(sin(2*th)-1)+circle_r^2 >= 0，根为-10*sqrt(2)*sin(th+pi/4)*[1,1] + sqrt(100*(sin(2*th)-1)+circle_r^2)*[1,-1]。

这是一个Matlab图，作为th = pi / 3和circle_r = 15的示例。洋红色标记使用上面显示的等式以封闭形式计算。