我有一个问题。
我必须在Haskell中实现一个函数maxT，它从二叉树中返回一个节点的最大值。
data Tree a = Leaf a | Node (Tree a) a (Tree a)
这是给出的。接下来我该怎么办？
maxT :: (Tree Integer) -> Integer
maxT (Leaf a) = a
maxT (Node l a r) = max a (max (maxT l) (maxT r))
这是对的吗？
答案 0 :(得分：4)
让我们看看证明正确有多难。为什么？因为这是分析程序错误的好方法。特别是递归的。我们在技术上会使用感应，但它并不复杂。关键是要认识到maxT t必须始终是树t中的最大值 - 此声明“maxT t必须始终是树t中的最大值”被称为不变量，我们将尝试证明它。
首先，我们假设t是Leaf。在这种情况下，您已定义maxT (Leaf a) = a，并且由于此树中确实存在没有其他值，因此a 必须是最大的。因此，maxT在通过Leaf时支持我们的不变量。这是“基本情况”。
现在，我们会考虑当t = Node (Leaf a) b (Leaf c) Integer a b，c和maxT出现maxT t
===
maxT (Node (Leaf a) b (Leaf c))
===
max b (max (maxT (Leaf a)) (maxT (Leaf c)))
时会发生什么。这是一个高度为1的树，形成了你可能称之为“示例案例”的感应。让我们试试maxT，看看不变量是否成立。
Leaf此时我们将使用我们的基础案例步骤，并说由于此maxT (Leaf _)中===
max b (max a c)
的唯一应用程序位于max s上，因此每个应用程序都必须支持我们的不变量。这有点愚蠢，但那是因为它只是一个例子。我们稍后会看到更一般的模式。
现在，让我们评估我们的max a b位，知道结果是每个特定左子树或右子树的最大值。
a现在，我不想深入研究b的定义，但根据其名称，我很高兴地假设max b (max a c)返回{{1}之间的最大值}和Node。我们可以在这里详细介绍细节，但很明显maxT已经获得了有关我们Leaf的所有相关信息，用于计算整个高度-1树的最大值。我称之为Node适用于height-0和height-1树（Leaf s和n仅包含maxT t s）的成功证明。< / p>
下一步是概括这个示例案例。
因此，让我们应用相同的模式来推广树的高度。我们会问，如果我们修正了一些数字t会发生什么，并假设n维持我们对所有n = 0高度n = 1或更低的不变量的不变量。这有点奇怪 - 我们只展示了Tree和n的作品。很明显为什么这会稍晚起作用。
那么这个假设对我们有什么影响？好吧，让我们取两个l个高度r或更少（称为x和t = Node x l r），任意整数maxT t，并将它们组合成一个一棵新树maxT t
===
maxT (Node x l r)
===
max x (max (maxT l) (maxT r))
。当我们maxT l时会发生什么？
maxT r我们知道，根据我们的假设，max和t支持我们的不变量。然后，(n+1) es的链继续维持我们的不变量，因为树Tree的高度为(n+1)。此外（这非常重要）我们组装新maxT的过程是通用的 - 我们可以在此方法中生成任何高度 - (n+1)树。这意味着n适用于任何高度 - maxT树。
感应时间！我们现在知道，如果我们选择n并且相信（出于某种原因）(n+1)适用于任何高度 - n = 0树，那么它必须立即适用于任何高度 - {{1树。我们选择maxT。我们知道Leaf适用于maxT的“基本情况”，所以突然我们知道1适用于高度 - maxT树。这是我们的“案例”。现在，鉴于这些知识，我们可以立即看到2适用于高度 - 3树。然后是高度 - 4树。然后是身高 - maxT。等等，等等。
这样就完成了max正确的证明*。
*我必须留下一些警告。虽然有意义，但我们并没有真正做出精确的细节来证明(n+1)链是有效的。我也没有真正证明诱导步骤有效 - 如果有更多的方法来制作高度 - Node树而不仅仅是在高度上使用n - n或更小的树？更强大的方法是“分开”一个高度 - maxT (Leaf undefined)树，但我觉得这有点难以辨认。最后，如果我们发送{{1}}或其他类似的病态值，我们真的想要认真思考会发生什么。这些出现在Haskell中，因为它是一种（图灵完备的）计算机语言而不是纯数学。老实说，这些小小的东西对你的情况并没有太大的改变。