在Matlab中实现积分方程的迭代解

Question

我们有一个类似于第二类Fredholm integral equation的等式。

为了解决这个方程，我们得到了一个迭代解，保证收敛于我们的特定方程。现在我们唯一的问题在于在MATLAB中实现这个迭代程序。

目前，我们代码中有问题的部分如下所示：

function delta = delta(x,a,P,H,E,c,c0,w)

delt = @(x)delta_a(x,a,P,H,E,c0,w);

for i=1:500
    delt = @(x)delt(x) - 1/E.*integral(@(xi)((c(1)-c(2)*delt(xi))*ms(xi,x,a,P,H,w)),0,a-0.001);  
end
delta=delt;

end

delta_a是x的函数，表示迭代的初始值。 ms是x和xi的函数。

您可能会看到我们希望delt依赖于迭代中的x（积分之前）和xi（积分之内）。不幸的是，这种编写代码的方式（使用函数句柄）并没有像我们希望的那样给出数值。我们不能将delt写为两个不同的函数，x之一和xi之一，因为xi未定义（直到integral定义它）。那么，我们如何确保delt依赖于积分内的xi，并且仍然可以从迭代中获得数值？

你们有什么建议我们如何解决这个问题？

使用数值积分

输入参数的说明：x是数值的向量，其余都是常量。我的代码的一个问题是没有使用输入参数x（我猜这意味着x被视为符号）。

Answer 1

看起来你可以在MATLAB中嵌套匿名函数：

f = 

    @(x)2*x

>> ff = @(x) f(f(x))

ff = 

    @(x)f(f(x))

>> ff(2)

ans =

     8

>> f = ff;


>> f(2)

ans =

     8

还可以重新绑定指向函数的指针。

因此，您可以像

一样设置迭代

delta_old = @(x) delta_a(x)
for i=1:500
    delta_new = @(x) delta_old(x) - integral(@(xi),delta_old(xi))
    delta_old = delta_new
end

加上你的参数......

Answer 2

您可能需要考虑解决问题的离散化版本。

让K成为离散Fredholm内核k(t,s)的矩阵，例如

   K(i,j) = int_a^b K(x_i, s) l_j(s) ds

例如，l_j(s)是与插值节点(x_i) = x_1,x_2,...,x_n关联的第j lagrange interpolant。

然后，解决Picard迭代就像执行

一样简单

  phi_n+1 = f + K*phi_n

即

  for i = 1:N   
       phi = f + K*phi
  end

其中phi_n和f是phi上f和(x_i)的节点值。