我知道monad是什么。我想我已经正确地把我的想法包围在一个comonad是什么。 (或者说,
我的问题是:有些东西可以是monad 和是comonad吗?
我预见到两个可能的答案:
那么,这是什么?
答案 0 :(得分:25)
Cofree Comonad产生的一些数据结构可用作Monads和Comonads:
data Cofree f a = a :< f (Cofree f a)
每个Cofree Comonad对一个替代仿函数产生一个Monad - 请参见此处的实例:
http://hackage.haskell.org/packages/archive/free/3.4.1/doc/html/Control-Comonad-Cofree.html
instance Alternative f => Monad (Cofree f) where
return x = x :< empty
(a :< m) >>= k = case k a of
b :< n -> b :< (n <|> fmap (>>= k) m)
这给了我们,例如非空列出Monad和Comonads(以及非空的f分支树等)。
Identity
不是替代方案,但Cofree Identity
会产生无限流,我们实际上可以为该流提供不同的 monad实例:
http://hackage.haskell.org/packages/archive/streams/3.1/doc/html/Data-Stream-Infinite.html
data Stream a = a :> Stream a
instance Comonad Stream where
duplicate = tails
extend f w = f w :> extend f (tail w)
extract = head
instance Monad Stream where
return = repeat
m >>= f = unfold (\(bs :> bss) -> (head bs, tail <$> bss)) (fmap f m)
(注意上面的函数不在列表中,而是在streams
包中定义)。
类似地,读者箭头不是替代品,但Cofree ((->) r)
产生了摩尔机器,而摩尔机器也是monad和comonads:
http://hackage.haskell.org/packages/archive/machines/0.2.3.1/doc/html/Data-Machine-Moore.html
data Moore a b = Moore b (a -> Moore a b)
instance Monad (Moore a) where
return a = r where r = Moore a (const r)
Moore a k >>= f = case f a of
Moore b _ -> Moore b (k >=> f)
_ >> m = m
instance Comonad (Moore a) where
extract (Moore b _) = b
extend f w@(Moore _ g) = Moore (f w) (extend f . g)
那么所有这些例子背后的直觉是什么?好吧,我们免费获得comonadic操作。我们得到的monadic操作都是对角化的形式。有了替代方案,我们可以<|>
一起“扼杀”结构,并在我们用完结构来消除时,将“空”的东西魔术化。这让我们可以处理有限的案例。缺乏替代方案我们需要有一个无限量的结构,这样无论我们制造了多少“连接”操作(我们可以认为是拼接或替换),拼接元素总是有更多的空间(比如希尔伯特酒店:http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_infinite_hotel)。
相关地,每个 Comonad都会产生一个相关的Monad(虽然我认为这更像是一个好奇心):
http://hackage.haskell.org/packages/archive/kan-extensions/3.1.1/doc/html/Control-Monad-Co.html
答案 1 :(得分:22)
是。将一些评论转化为答案:
newtype Identity a = Identity {runIdenity :: a} deriving Functor
instance Monad Identity where
return = Identity
join = runIdentity
instance CoMonad Identity where
coreturn = runIdentity
cojoin = Identity
Reader和Writer是精确的对偶,如
所示class CoMonoid m where
comempty :: (m,a) -> a
comappend :: m -> (m,m)
--every haskell type is a CoMonoid
--that is because CCCs are boring!
instance Monoid a => Monad ((,) a) where
return x = (mempty,x)
join (a,(b,x)) = (a <> b, x)
instance CoMonoid a => CoMonad ((,) a) where
coreturn = comempty
cojoin = associate . first comappend
instance CoMonoid a => Monad ((->) a) where
return = flip (curry comempty)
join f = uncurry f . comappend
instance Monoid a => CoMonad ((->) a) where
coreturn f = f mempty
cojoin f a b = f (a <> b)
答案 2 :(得分:14)
有许多有趣的结构都是Monad
和Comonad
。
其他几个人已经在这里指出了Identity
仿函数,但是有一些非常重要的例子。
Writer
Monad
扮演Reader
类似Comonad
的角色。
instance Monoid e => Monad ((,) e)
instance Comonad ((,) e)
Reader
Monad
扮演Writer
类似Comonad
的角色。
instance Monad ((->) e)
instance Monoid e => Comonad ((->)e)
非空列表也同时形成monad和comonad,实际上是涉及cofree comonad的更大构造的特例。 Identity
案例也可以视为一种特殊情况。
还有各种基于Kan扩展的Yoneda
和Codensity
类似的构造,它们可以转换monad和comonads,尽管它们在运营效率方面偏向于其中一个。
我还有一个适配器,可以将任意comonad转换为monad转换器。可悲的是,在Haskell中无法进行相反的转换。
在线性代数中有一个bialgebra的概念。理想情况下,如果我们的某些内容同时形成Monad
和Comonad
,并且我们希望在不根据具体情况的基础上将这些操作结合使用,那么我们希望拥有return
join
}和extract
是Comonad余代数,并且duplicate
和Monad
是Monad f
代数。如果这些条件成立,那么您实际上可以推断出同时具有Comonad f
和{{1}}约束的代码,并且在没有逐案推理的情况下混合各自的组合子。
答案 3 :(得分:5)
这取决于你认为的“monad”是什么。如果您问“某个类型是否可以同时成为Monad
和Comonad
的实例?”好的。这是一个微不足道的例子。
newtype Id a = Id a
instance Monad Identity where
return = Id
(Id a) >>= f = f a
instance Comonad Identity where
extract (Id a) = a
extend f ida = Id (f ida)
如果您在数学上表示,那么monad就是三(X, return, bind)
,其中X
是一种类型,return
和bind
遵循您期望的类型和法则。同样,comonad是(X, extend, extract)
。我刚刚证明X
可能是相同的,但由于extend
和return
或extract
和bind
的类型不同,因此不是可能他们是相同的功能。所以数学monad永远不会是一个comonad。
答案 4 :(得分:1)
扩展Hammer的建议,编写函数[x] -> [[x]]
似乎很简单。例如,
map (\ x -> [x])
会工作得很好。所以看起来列表可能形成一个comonad。啊,等等。处理cojoin
,但coreturn :: [x] -> x
怎么办?据推测,这个就是为什么只有非空列表形成一个comonad。
这为我们提供了类型为([x] -> x) -> [x] -> [x]
的cobind函数。有趣的是,Hoogle知道没有这样的功能。但我们已经concatMap :: (x -> [x]) -> [x] -> [x]
了。我没有看到cobind函数立即使用,但我可以想象一个现有的。
我仍然试图围绕comonad以及它可能有用的内容。到目前为止,答案给了我一些思考......