Question

在this answer中，“monad可以成为comonad吗？”我们看到了

Cofree上的Comonad Alternative functor每{...}}会产生一个Monad。

这对此有什么影响？是否有一类函子可以自动为它们创建一个免费的monad？

Answer 1

是的，你可以将构造二元化，但结果类的唯一成员是空的仿函数，其自由monad（身份monad）确实也是一个comonad。不是很令人兴奋。

你所指的建筑实际上需要的却很少，所以让我们放弃Hask的包袱并按照以下的一般性进行工作。让

（C，⊗，1）为幺半群类别
F：C - ＆gt; C是一个幺正值的仿函数，也就是说，有地图1 - ＆gt; FX和FX⊗FX - ＆gt;在X中是自然的FX，以及单位和关联的

定义TX =X⊗F（TX）。假设这个递归定义在某种程度上有意义，我们可以在T上进行递归定义。然后我们可以使用以下结构映射将T转换为monad：

给出的单位

    X = X ⊗ 1
     -> X ⊗ F(TX)            [unit map of F]
      = TX

由

提供加入

T(TX) = TX ⊗ F(TTX)
      = X ⊗ F(TX) ⊗ F(TTX)
     -> X ⊗ F(TX) ⊗ F(TX)    [join recursively under F]
     -> X ⊗ F(TX)            [multiplication of F]
      = TX

当⊗是笛卡儿积时，这个结构就是你所引用的另类仿函数上的免费comonad上的monad结构。事实上，Alternative结构的应用部分是无关紧要的。只需要Alternative本身的类方法（加上Functor）：一个幺冒值的仿函数。从元素方面来说，如上所述构成连接的步骤由

给出

(x :< xs) :< xss  ->  (x :< xs, xss)
                  ->  (x, xs, xss)
                  ->  (x, xs, fmap join xss)
                  ->  (x, xs <|> fmap join xss)
                  ->  x :< (xs <|> fmap join xss)

这很容易看出（通过设置k = id）来同意

(a :< m) >>= k = case k a of
                   b :< n -> b :< (n <|> fmap (>>= k) m)

由于我们的初始结构非常小，因此很容易实现二元化。所以让（C，⊗，1）继续是一个幺半群类别，但现在假设

G：C - ＆gt; C a comonoid-valued functor，也就是说，有地图GX - ＆gt; 1和GX - ＆gt; GX⊗GX在X中是自然的，并且是指向和协作的

然后我们可以定义UX =X⊗G（UX）（再次假设这在某种程度上是有意义的）并且通过双重结构为U配备了comonad的结构。从某种意义上说，这是一个真正的答案，但为了解决你的具体问题，我们应该考虑一下some的具体选择会发生什么。

首先假设⊗再次是笛卡尔积。然后，每个仿函数G以独特的方式进行共生值（对立性力GX - > GX x GX为对角线）。因此对于任何算子G，我们得到一个comonad UX = X x G（UX）。事实上，这只是关于仿函数构造的通常的cofree comonad（证明你的口号中的“cofree comonad”部分;当F是幺正值时我们可以设置G = F并且G是自动的共价值，然后是T和U有相同的底层函子。）

如果⊗是副产品D那么，那么任何对于com为com的符号值的G也是以独特的方式为⨿的幺正值，因此UX =X⨿G（UX）也是G上的自由monad作为一个comonad。

但是在Hask中，⨿的单位对象是空类型0，而G的区域应该具有类型GX - ＆gt; 0，只有当所有X的GX = 0时才有可能（在任何笛卡尔闭合类别中都是如此）。因此，在Hask中没有这种结构的有趣例子。缺乏对称性是类似于Set的类别的典型现象。

每个免费的monad超过???仿函数产生一个comonad？

1 个答案: